求定积分∫（0，2π）dθ∫（0，R）ρ³cosθsinθ√(R²-ρ²）dρ

Answer 1

解：原式=∫(0,2π)cosθsinθdθ∫(0,R)ρ³√(R²-ρ²)dρ。
对∫(0,R)ρ³√(R²-ρ²)dρ，设ρ=Rsinα，∴∫(0,R)ρ³√(R²-ρ²)dρ=(R^5)∫(0,π/2)sin³αcos²αdα=(-R^5)∫(0,π/2)(1-cos²α)cos²αd(cosα)=2/15，
∴原式=(2R^5/15)∫(0,2π)cosθsinθdθ=(R^5/15)sin²θ丨(θ=0,2π)=0。
供参考。