二重积分∫∫（y√1+x^2-y^2）dt,其中D是由直线y=x，x=-1和y=1所为成的闭区域

Question

如果先对y积分的话 怎积？书上的写的没看明白，希望高人指点一下

Answer 1

先对y积分，x看成常数，对y√1+x^2-y^2积分后，恰好等于（1+x^2+y^）^3/2，之后书上就很详细，能看懂了。

Answer 2

本题需要先积y，若先积x计算量会很大。
∫∫（y√1+x²-y²）dxdy
=∫[-1--->1]
dx
∫[x--->1]（y√1+x²-y²）dy
=(1/2)∫[-1--->1]
dx
∫[x--->1]（√1+x²-y²）d(y²)
=(-1/2)∫[-1--->1]
(2/3)(1+x²-y²)^(3/2)
|[x--->1]
dx
=(-1/3)∫[-1--->1]
[|x|³-1]
dx
注意这里不能写x³，因为x有负值
被积函数是偶函数，由奇偶对称性
=(-2/3)∫[0--->1]
[|x|³-1]
dx
=(2/3)∫[0--->1]
[1-x³]
dx
=(2/3)(x-x⁴/4)
|[0--->1]
=(2/3)(1-1/4)
=1/2