求三重积分I =∫∫∫ Ω |√(x^2+y^2+z^2)-1|dv,其中 Ω 是曲面z=√(x^

Question

求三重积分I =∫∫∫ Ω |√(x^2+y^2+z^2)-1|dv,其中 Ω 是曲面z=√(x^2+y^2)与平面z=1所围成

Answer 1

要去掉绝对值号，这就需要讨论：
①√xx+yy+zz-1》0，即xx+yy+zz》1，
也就是在球面xx+yy+zz=1上及其外部的点。
②√xx+yy+zz-1<0，同理，
也就是在球面xx+yy+zz=1内的点。

【这就需要按照球面的外与内对积分区域进行划分，
同时还要考虑积分上下限的确定。】

为此求球面与圆锥面z=√xx+yy的交线，
得到交线是在z=1/√2上的圆xx+yy=1/2。
用圆柱面xx+yy=1/2把积分区域分成外、内两部分，
分别记为D1、D2。
其中D1全部位于球面外，
D2中，位于球面外、内的两部分分别记为D3、D4。

则原积分=∫∫∫D1【√xx+yy+zz-1】dV
+∫∫∫D3【√xx+yy+zz-1】dV+∫∫∫D4【1-√xx+yy+zz】dV

=∫〔0到2π〕dt∫〔1/√2到1〕rdr∫〔r到1〕【√rr+zz-1】dz
+∫〔0到2π〕dt∫〔0到1/√2〕rdr∫〔√1-r到1〕【√rr+zz-1】dz
+∫〔0到2π〕dt∫〔0到1/√2〕rdr∫〔r到√1-r〕【1-√rr+zz】dz

计算出积分值

Answer 2

参看
http://zhidao.baidu.com/question/1819475214009376508