求定积分的大致范围的详细过程

Question

如图

Answer 1

换元脱根号，令t=√(x+1)
=∫(0.√2)(t²－1)^4/td(t²－1)
=2∫(0.√2)(t²－1)^4dt
然后多项式展开套公式计算即可

Answer 2

解：设f(x)=2x^3-x^4，两边对x求导、并令f'(x)=0，∴f'(x)=6x^2-4x^3=0。解得在x∈[1,2]的极大值点x=3/2。
而，f(1)=1、f(2)=0、f(3/2)=27/16，∴x∈[1,2]时，0≤f(x)≤27/16。
∴∫(1,2)0dx≤∫(1,2)f(x)dx≤∫(1,2)27/16dx，即0≤∫(1,2)(2x^3-x^4)dx≤27/16。
供参考。