设函数u=f(x,y,z)具有连续的一阶偏导数，其中z=z(x,y)由可微函数y=φ(x,t)及t=

Question

设函数u=f(x,y,z)具有连续的一阶偏导数，其中z=z(x,y)由可微函数y=φ(x,t)及t=ψ(x,z)确定，且φ_t^‘ ψ_z^’≠0，试求∂u/∂x及∂u/∂y。

Answer 1

首先，由y=φ[x,ψ(x,z)]，可得
dy=(∂φ/∂x)dx+[(∂ψ/∂x)dx+(∂ψ/∂z)dz]
=[(∂φ/∂x)+(∂ψ/∂x)]dx+(∂ψ/∂z)dz，
有
∂y/∂x=(∂φ/∂x)+(∂ψ/∂x)，
且
dz=-{[(∂φ/∂x)+(∂ψ/∂x)]/(∂ψ/∂z)}dx[1/(∂ψ/∂z)]dz，
得
∂z/∂x=-[(∂φ/∂x)+(∂ψ/∂x)]/(∂ψ/∂z), ∂z/∂y=1/(∂ψ/∂z)，
于是
∂u/∂x=∂f/∂x+(∂f/∂y)(∂y/∂x)+(∂f/∂z)(∂z/∂x)
=∂f/∂x+(∂f/∂y)[(∂φ/∂x)+(∂ψ/∂x)]-(∂f/∂z)[(∂φ/∂x)+(∂ψ/∂x)]/(∂ψ/∂z),
∂u/∂y=∂f/∂y+(∂f/∂z)(∂z/∂y)
=∂f/∂y+(∂f/∂z)/(∂ψ/∂z)