[高数] 无穷级数的问题

Question

在书中看到下列几个式子.但不知道等号两边为什么会相等?
请给出计算过程,或公式.能明白就行!谢谢

知道有公式:∑a*q^n-1 = a(1-q^n)/(1-q), 请问如何使用?

∑x^k = x/(1-x)
∑x^4k = x^4/(1-x^4)
∑x^2k-2 = 1/(1-x^2)

∑x*y^2k-1 = (x*y)/(1-y^2)

其中∑表示k=1到无穷

Answer 1

∑x^k = x/(1-x)
∑x^4k = x^4/(1-x^4)
∑x^2k-2 = 1/(1-x^2)
∑x*y^2k-1 = (x*y)/(1-y^2)
你不知道看明白了没有啊？？其实所有的问题只是在于将第一式子证明即可：原因如下：
∑x^4k使用换元法令a=x^4,此式子就变成第一个式子
∑x^2k-2 同样的方法令x^2,在使用一点就是提取常量X^2就变成第一个式子
∑x*y^2k-1同样的方法只是首先提取x*Y公因子,再令a=y^2,此时要证明的内容就也变成了第一个式子
现在证明第一式子:
我们注意到只有当在第一式子满足：|x|<1时无穷级数才收敛，此时有极为简单的关系就是：
∑x^k = (x-x^(n+1))/(1-x) 此处使用的是等比数列求和
当|x|<1时，会有X^(n+1)回趋近于零
从而可以得到∑x^k = x/(1-x)
从而得证结论。
其他几个采用完全相同的方法，很简单。