三等分角尺规作图
邹邦志
已退休 经贸经济师 黑龙江 150021 中国
bzzou9004@foxmail.com
三等分角运用直尺和圆规是可以实现的。因为根据三倍角公式：
sin3a=3sina-4sin3a=sina(1+2cos2a) , 令sina≠0；sin3a/cosa=1+2cos2a.-可做图。
设：∠YOX=3a，作图如下：
1．圆心0，半径r作⊙0，得A、B；
2．反向延长BO，交⊙0于C；圆心C，半径r,交BO延长线于O1;
3.圆心O1，半径r作⊙O1，外切于O于C；
4.联结O1A，分别交⊙O1于D（关键点），交⊙O于E；
5-6.作DJ∥O1B，交⊙O于J（两步）；
7.作射线AJ；
8.作DG⊥DJ，交AJ于G（关键点），
9-11.过G作O2I∥AO1，分别交⊙O于F，交DJ延长线于I（关键点），交O1B于O2（关键点）；
12.联结O2A，交⊙O于K（关键点）；
13-14.作MKB1∥O1B，交⊙O于B1，交⊙O1于M（两步）；
15.联结OB1。
16-17.圆心B1，半径B1B画弧，交⊙O于A1，联结OA1（未画出）。
作为三等分角的尺规作图到此可以结束。为了考虑整个360周角的尺规作图，必须要把后面的作完；当∠AOB=3a，∠B1OB=a。
考虑到图形的对称性，当3a∈[0,240]时，OA’对称于OA，OB1’对称于OB1；当∠AOB1=∠B1‘OA’=a时，∠B1OB1‘=a。
当3a∈[0,360], 优角所对的弧ACB，∠BOB1“=a，∠AOB1”=2a。
证明：(1)完备性
I.SAOB1/SB1OB=(1/2)OA*OB12a/[(1/2)OB1*OBa]=2。
II.(SAOB1+SB1OA’)/(SB1OB+SBOB1’) =(1/2)( OA*OB1+OB1’*OA’)a/[(1/2)(OB1*OB1)a]=2.
III.SAOB1”/SBOB1”=(1/2)(OA*OB1”*2a)/[(1/2)(OB1”*OB*a)]=2。
A点落在⊙O上。
(2)纯粹性
设A为圆上的任意一点，a∈[0,120] ,联结AO1，交⊙O1于D；作DJ∥O1B，交⊙O于J；作AF射线；作DG⊥DJ交AF于G；过G作IO2∥AO1，分别交O1B于O2，交DJ延长线于I；联结O2A交⊙O于K；过K作MK∥O1B交B1,联结OB1，则SAOB1/SB1OB=(1/2)OA*OB1*2a/[(1/2)OB1*OB*a]=2。
当a∈[0,240D], 当a∈[0,360D]时，同时成立。
A点合乎所设的条件，A点落在⊙O和OA的交点上。
证毕。
