高数，怎么判断这一题是绝对收敛还是条件收敛

Question

如图，求详细步骤

Answer 1

答案是条件收敛
（注：∑1/n^k，这里当且仅当k>1时，级数收敛）
因为对于任意整数n，cosnπ=1或-1
所以
∑|cosnπ*1/n^(1/3)|=∑1/n^(1/3)
这是个发散级数，所以原级数不是绝对收敛。
因为当n是奇数时 cosnπ=-1，当n是偶数时 cosnπ=1
所以我们考察第n项和第n+1项的和，这里我们假设n是奇数。
和=-1/n^(1/3)+1/(n+1)^(1/3)
=[n^(1/3)-(n+1)^(1/3)]/[n^(1/3)*(n+1)^(1/3)]
=-1/{n^(1/3)*(n+1)^(1/3)*[n^(2/3)+n^(1/3)*(n+1)^(1/3)+(n+1)^(2/3)]
>-1/3*1/n^(4/3)
这里∑1/n^(4/3)是收敛的
也就是说如果我们把原级数的第2K+1项和第2K+2项相结合得到的新级数是收敛的
也就是说原级数收敛
也就是条件收敛

追答

追问

这是交错级数，不可以用莱布尼茨公式来判断吗

额 可以吗

追答

可以

追问

好的

Answer 2

极限收敛但不是绝对收敛的无穷级数或积分被称为条件收敛的。在无穷级数的研究中，绝对收敛性是一项足够强的条件，许多有限项级数具有的性质，在一般的条件收敛下的无穷级数不一定满足，只有在绝对收敛下的无穷级数才会具有该性质。例如： 1.任意重排一个绝对收敛的级数之通项的次序，不会改变级数的和。 2.两个绝对收敛的无穷级数通项的乘积以任何方式排列成的级数和都为原来两个级数和的乘积。 3.绝对收敛的无穷级数或积分一定是条件收敛的，反之则不一定成立，因此条件收敛是绝对收敛的一个必要条件。