曲面积分 积分变量替换的问题

Question

详情见图片
为什么在Z变成X的过程中要加上一个负号呢？

这个应该不是区面积分上下侧时 符号的问题
因为下半球的上侧 是取正号的
所以这个负号应该是在 积分变量转换的时候产生的

Answer 1

这个负号是dydz向dxdy转化中产生的
我先按我的方法推一下：
cosαdS=dydz
cosγdS=dxdy
则dydz=(cosα)/(cosγ)dxdy
F(x,y,z)=x²+y²+z²-a²，Fx=2x，Fy=2y，Fz=2z
曲面上任一点的法向量为：(2x，2y，2z)
则(cosα)/(cosγ)=x/z
则∫∫ x dydz=∫∫ x²/z dxdy
我这个推导是否更好理解一些？

至于你说的那个负号：
你是否记得隐函数求偏导的一个公式：对于F(x,y,z)=0，有∂z/∂x=-Fx/Fz
因此(cosα)/(cosγ)=Fx/Fz=-∂z/∂x

Answer 2

因为取得球面是下半球的上侧的，投影在xoy面上的话，肯定是取负值了，你要知道第二类曲面积分中的dxdy和其他两个坐标面积分变量的转化关系，是通过余弦值转化的，而取了下半球的上侧，肯定是和z轴夹角是负值了，所以要加上一个负号的，你好好看看第二类曲面积分和第一类曲面积分的转化关系 吧

追问

而取了下半球的上侧 那不更是正号了嘛...

追答

dydz=(cosα)/(cosγ)dxdy，这个是利用两类曲面积分关系推导出来的，dydz=cosαds，而dxdy = cosγds吧？？？这样两个式子的关系就出来dydz=(cosα)/(cosγ)dxdy了，但是要注意，它的推到不完善，因为cosα = Fx/ √(Fx^2+Fy^2+Fz^2)吧？？？cosγ = Fz/ √(Fx^2+Fy^2+Fz^2)吧？？？这个是由曲面法向量公式得到的，但是cosα 、cosγ 可以前面加负号的，但是二者的正负号一致，并不影响比值的，对吧？？？那么就是(cosα)/(cosγ) =Fx/ Fz吧？？？而Fx/ Fz=-∂z/∂x 吧？？？得出了……加油吧……我是今年考上的研究生了……

追问

嗯 非常感谢你的推导
(cosα)/(cosγ) =Fx/ Fz Fx/ Fz=-∂z/∂x
我可不可以得出这样的结论：
dydz=(-∂z/∂x)dxdy
dxdy=(-∂x/∂z)dzdy 以此类推 在变换积分变量的时候都是要加上负号的？

追答

是的……

Answer 3

原式=∫xdx/(x-2)(x+1)
=∫[a/(x-2)+b/(x+1)]dx
则a(x+1)+b(x-2)=x
所以a=2/3,b=1/3
所以原式=∫[(2/3)/(x-2)+(1/3)/(x+1)]dx
=(2/3)ln|x-2|+(1/3)ln{x+1|+C

Answer 4

感觉这题目...直接用积分之间的关系来做。这里你的正负号选取不是上侧就是正啊…..