数学问题 概率 方案选择

Question

N个人参与某个活动做实验，只有其中的A可以成功，组织者每次抽取一个人做实验直到实验成功为止。组织者决定奖励做了实验的人1元（不管有没有成功），有以下两个方案：
1.准备一个娱乐室，让做了实验但没有成功的人进去，防止他们重复领取奖励，但是组织者要给没个进实验室的人额外1元钱招待。
2.不准备实验室，但是每次抽中A的概率都是1/N
问哪种方案花费较少？

Answer 1

一样。

第一种情况。
等于抽签问题，每次概率都是公平的。第k次抽到A的概率都是1/n。
第k次抽到A的花费是2k-1（抽到A只用给他1块钱，不用再给他一块钱去娱乐室）。
总花费的数学期望就是1/n(1+3+5+7+......2n-1)=n

第二种情况。
第k次抽到A的概率就是前k-1次抽不到A第k次抽到A的概率：[(n-1)/n]^(k-1)*(1/n)。
第k次抽到A的花费是k。
总花费的数学期望就是：西格玛k*[(n-1)/n]^(k-1)*(1/n) （k从1到无穷大）。
上式是等差数列k和等比数列[(n-1)/n]^(k-1)*(1/n)的乘积。求和公式a1b1/(1-q)-(a1+nd-d)·b1q^n/(1-q) +d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q)^2，我就不详细写了。最后答案也是n。

Answer 2

1.准备一个娱乐室，让做了实验但没有成功的人进去，防止他们重复领取奖励，但是组织者要给没个进实验室的人额外1元钱招待。
2.不准备娱乐室，但是每次抽中A的概率都是1/N

方案2花费较少:
1是不管什么时间抽中A都一定是花N元，（做过的奖励1元+没做的1元钱招待）
2每次有1/N的概率，所以有可能是在少于N次的情况下抽中A，花出就小于N元

Answer 3

第一种实验方案最好。
解：设X为活动开销
1.因为一定是N元，
E(X)=N
D(X)=0
2.共有Y个人做实验。
P{Y=k}=1/N * (1-1/N)^(k-1)
属于几何分布
E(Y)=N,即活动开销也N，
D(Y)=N²-N,
当期望相同时，第二种实验方案方差太大。
因此第一种实验方案最好。

Answer 4

第二种方案花费少。
如果第一次选人时恰好选中A：
两种方案都需付1元，发生这种情况的概率都为1/N，因此数学期望为1/N。
如果第一次选人时，没有选中A，不妨假设在第k次选中A(其中k>1)：
第一种方案的概率为 (N-1)/N·(N-2)/(N-1)·…·1/(N-k+1)=1/N ；
而第二种方案的概率为1/N·1/N·…·1/N=(1/N)^k
两种方案也都需要付k元，所以第二种方案的数学期望更小

另：楼上的回答很好

Answer 5

方案一相当于不放回抽样；花费=N+娱乐室
方案二是放回抽样；花费=N
两种方案，实验次数的概率分布函数是相同的，实验次数的均值都为n；
因此方案二花费更少