初二数学代数难题，跪求解答（要过程）

Question

（注：以下x均为英文字母，不为乘号，乘号省略）
1.方程x²-mx+n中，m,n均为有理数，且方程有一个根是2+根3，则M=?,N=?
2.已知方程2x²-（3m+n)x+mn=0有两个不相等的实数根，则m,n的取值范围是？
3.如果m为有理数，为使方程x²-4x（m-1）+3m²-2m+2k=0的根为有理数，则K的值为？
4.当m＞0时，关于x的方程c(x²+m)+b(x²-m)2ax倍的根号m=0有两个相等的实数根，求证：a²+b²=c²
5.求证：方程（x-a)(x-a-b)=1有两个实数根，其中一个大于a，另一个小于a？
6.已知a,b,c是三角形的三边，求证方程a²x²+（a²+c²-b²）x+c²=0无实数根
7.若方程b(x²-4）+4x（b-a)-c(x²-4）=0的两个根不相等，且a,b,c为△ABC的三边，求证；△ABC不是等边三角形.
8.m是什么实数值时，方程2x²+x(n+1)-(3n²-4n+m)=0有有理根？
9.已知：关于x的方程x²+（a-8)x+12-ab=0,这里a,b是实数，如果对于任意a值，方程永远有实数根，求b的取值范围？
10.设a为有理数，当b为何值时，方程2x²+（a+1）x-(3a²-4a+b)=0的根对于a的任何值均是有理数？
11.已知r①，r②，d均大于零且方程x²-2r①x+(r②）²+r①d-r②d=0有相等的实数根，求证：r①=r②（注：①，②为下标）

Answer 1

解：1、由韦达定理，x1+x2=m，x1*x2=n；
一元二次方程的无理数根，总是共轭出现的，故另一根是2-√3；
则 m=4，n=1。
2、有两个不相等的实数根，则Δ＞0；
(3m+n)²-8mn＞0
9m²-2mn+n²＞0
(m-n)²+8m²＞0
只要m=n和m=0不同时成立，则该不等式成立；
所以m、n是实数，m、n不同时为零；
3、因为m是有理数，若使方程的根是有理数，则需Δ是完全平方数(式)；
Δ=16(m-1)²-4(3m²-2m+2k)
=4(m²-6m+4-2k)
若要4(m²-6m+4-2k)是完全平方式，则关于m的一元二次方程
m²-6m+4-2k=0的判别式为0；
故 6²-4(4-2k)=0
解得 k= -5/2
4、将方程整理为一般形式
(b+c)x²+2a√mx+cm-bm=0
这个关于x的一元二次方程有两个相等的实数根
则 Δ=0
4a²m-4(b+c)(cm-bm)=0
整理得 (a²+b²-c²)m=0
因为 m＞0
故 a²+b²-c²=0
a²+b²=c²
5、将方程整理为一般形式
x²-(2a+b)x+a²+ab-1=0
Δ=b²+4＞0，故该方程有两个不相等的实数根；
由 (x1-a)(x2-a)=x1x2-a(x1+x2)+a²
=a²+ab-1-a(2a+b)+a²
= -1＜0
故x1、x2中，一个比a大，一个比a小。
6、方程a²x²+（a²+c²-b²）x+c²=0的判别式是
Δ=(a²+c²-b²)²-4a²c²
=(a²+c²-b²+2ac)(a²+c²-b²-2ac)
=[(a+c)²-b²][(a-c)²-b²]
=(a+b+c)(a+c-b)(a-c+b)(a-c-b)
因为a、b、c是三角形的三边
则有 a+b+c＞0，a+c-b＞0，a-c+b＞0，a-c-b＜0；
故 Δ＜0；
原方程无实数根。
7、b(x²-4）+4x（b-a)-c(x²-4）=0整理为一般形式
(b-c)x²+4(b-a)x+4c-4b=0
判别式 Δ=16(b-a)²-16(b-c)²＞0
(2b-a-c)(c-a)＞0
若以a、b、c为三边的三角形是等边三角形，则2b=a+c，c=a；Δ=0，与题意不符；
故该三角形不是等边三角形。
8、方程2x²+x(n+1)-(3n²-4n+m)=0有有理根
则 Δ是完全平方式；
Δ=(n+1)²+8(3n²-4n+m)
=25n²-30n+8m+1
配方 Δ=(5n-3)²+8m-8
使 Δ为完全平方式，则m=1。
9、x²+（a-8)x+12-ab=0
Δ=(a-8)²-4(12-ab)
=a²-16a+4ab+16
要使关于x的一元二次方程有实数根，则 Δ≥0；
即 a²-16a+4ab+16≥0；
要使上式对任何a都成立，则关于a的一元二次方程
a²-16a+4ab+16=0的判别式小于等于零；
故 (4b-16)²-64≤0；
解得 2≤b≤6。
10、方程2x²+（a+1）x-(3a²-4a+b)=0
Δ=(a+1)²+8(3a²-4a+b)
=25a²-30a+8b+1
若对任意a，关于x的方程都是有理数，则需Δ是完全平方式；
Δ=(5a-3)²+8b-8
要使上式是完全平方式，
则 8b-8=0，b=1。
11、方程x²-2r①x+(r②）²+r①d-r②d=0有相等的实数根
则 Δ=0；
4r①²-4(r②²+r①d-r②d)=0
(r①-r②)(r①+r②-d)=0
所以 (r①-r②)=0或者 r①+r②-d=0