1/(x^3+x+1)的不定积分怎么算啊，急需

Question

1/(x^3+x+1)的不定积分怎么算啊，急需要步骤

Answer 1

1/（1+x^3）的不定积分求法如下：

1+x^3=(x+1)(x^2-x+1)

用待定系数法：A/(x+1)+(Bx+c)/(x^2-x+1)=1/(x+1)(x^2-x+1)

得A=1/3,B=-1/3,C=2/3

所以∫[1/(1+x^3)]dx =1/3∫(1/(x+1))dx-1/3∫((x-2)/(x^2-x+1))dx

其中1/3∫(1/(x+1))dx=1/3ln|x+1|+c

因为d（x^2-x+1）=(2x-1)dx,所以x-2=1/2(2x-1)-3/2

∫((x-2)/(x^2-x+1))dx=1/2∫(d(x^2-x+1)/(x^2-x+1))-3/2∫(1/(x^2-x+1))dx

其中∫(d(x^2-x+1)/(x^2-x+1))=ln|x^2-x+1|+c

∫(1/(x^2-x+1))dx=∫(dx/((x-1/2)^2+(根号3/2)^2))

因为∫（dx/(x^2+a^2)）=(1/a)arctan(x/a)

所以∫(1/(x^2-x+1))dx=∫(dx/((x-1/2)^2+(根号3/2)^2))

=（2/根号3）arctan（(x-1/2)/(根号3/2)）+c

扩展资料

不定积分的公式

1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数

2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1

3、∫ 1/x dx = ln|x| + C

4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1

5、∫ e^x dx = e^x + C

6、∫ cosx dx = sinx + C

7、∫ sinx dx = - cosx + C

8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C

9、∫ tanx dx = - ln|cosx| + C = ln|secx| + C

10、∫ secx dx =ln|cot(x/2)| + C = (1/2)ln|(1 + sinx)/(1 - sinx)| + C = - ln|secx - tanx| + C = ln|secx + tanx| + C

Answer 2

1.分母变形x（x^2+1）+1
2.令x=tan（t）,则dx=（sec（t））^2*dt
3.代入，进行三角函数运算，原不定积分化为
dt/（tan（t））=（cos（t）/sin（t））dt
4.令u=sint，则du=cost*dt，代入3中，求出来不定积分=ln（u）+C
5.把u=sint代入，再把t=arctan（x）代入，得
ln（sin（arctan（x）））+C

追答

好像第一次代入之后化简错了，抱歉，无视我就好。

有个比较生硬的办法就是先求分母x^3+x+1=0的解设为a，b，c，那么原式=1/（（x-a）（x-b）（x-c）），再分成A/（x-a）+B/（x-b）+C/（x-c）分别进行积分运算即可，其中A，B，C用待定系数法计算出来