用换元法和分部积分法解积分∫x (lnx)^2 dx

Answer 1

∫ x(lnx)² dx=∫ (lnx)² d(x²/2)
令u=(lnx)² , v=x²/2, 则
du = 2lnx * (1/x) dx
由分部积分公式∫u dv = uv - ∫v du
∫ x(lnx)² dx=∫ (lnx)² d(x²/2)
=(x²/2)(lnx)² - ∫(x²/2) * 2lnx * (1/x) dx
=(x²/2)(lnx)² - ∫x lnx dx
=(x²/2)(lnx)² - ∫ lnx d(x²/2)
=(x²/2)(lnx)² - [(x²/2) * lnx - ∫(x²/2) * (1/x) dx]
=(x²/2)(lnx)² - [(x²/2) * lnx - ∫(x/2) dx]
=(x²/2)(lnx)² - [(x²/2) * lnx - x²/4 ) + C
=(x²/4)*[2(lnx)²-2lnx+1]+C

Answer 2

令a=lnx
x=e^a
dx=e^ada
原式=∫e^a*a*e^ada
=∫ae^2ada
=1/2∫ae^2ad2a
=1/2∫ade^2a
=1/2ae^2a-1/2∫e^2ada
=1/2ae^2a-1/4e^2a+C
=1/2*lnx*x²-x²/4+C

追问

正确答案是(x^2/4)*[2*(lnx)^2-2*lnx+1]+c.....

追答

哦，对不起，ln的平方漏了
元历史一样的
只不过多用一次分部积分

追问

能帮我写一下过程吗?我自己算了一遍...和结果还是不一样.........