可微、可导、连续、偏导存在、极限存在之间的关系是什么？

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结论：可微、可导、连续、偏导存在以及极限存在之间存在紧密的联系。让我们逐个探讨它们之间的关系。

首先，函数y=f(x)在点x0可微，意味着当自变量微小变化Δx时，函数值的变化Δy可以用一个与Δx无关的常数A来近似表示，即dy ≈ A×Δx。若函数在这一点可微，那么它必然在该点连续，因为可导性蕴含了连续性。

其次，可导性是更严格的要求，它意味着函数在x0处的导数，即[f(x0+a)-f(x0)]/a的极限存在。这不仅要求函数在点x0附近有定义，还要求函数在该点具有局部线性逼近的性质。

在多元函数中，如果函数对x和y的偏导数在某点存在且连续，那么函数在该点可微，这是充分条件。相反，可微是偏导数存在的必要条件。

对于实数域上的函数，若函数在某点可导，需要满足左导数等于右导数且在该点连续，否则只能说明函数在该点可能可微，而非必然。

连续性是函数在点间值的保持，而不保证导数的存在。一个不连续的函数肯定不可导，但连续的函数可能可导，也可能不可导。

最后，柯西数列的概念与可微和极限紧密相关，它描述了数列在收敛时的局部稳定性，这在分析函数的性质时起到关键作用。

总的来说，这些概念间的关联显示了数学分析中的细微差别和层次结构，理解和掌握它们对于深入研究数学分析至关重要。