求由曲面z=x^2+2*y^2及z=6-2*x^2-y^2所围成的立体的体积。

Question

v=∫ ∫(6-2*x^2-y^2)dρ -∫ ∫ (x^2+2*y^2) dρ 我想问的是为设么这里要用减法？？
D D

Answer 1

曲面z=x^2+2*y^2是一个开头向上的马桶型的图形，z=6-2*x^2-y^2是前面那个图形关于z轴对称后向z轴正方向移动6个单位后得到的图形，是一个与前者图形完全相同但是开口向下的图形且与前者所谓空间图形时位于上方。
根据多元函数积分学的几何应用：
设z=z1(x,y),z=z2(x,y)在有界闭区域D上连续，z1(x,y)≤z2(x,y),D为边界（准线）
V=∫ ∫(6-2*x^2-y^2)dxdy -∫ ∫ (x^2+2*y^2) dxdy
D D
不是dρ。然后求解时候可以利用x=ρcosθ,y=ρsinθ(0≤θ≤2π)。谢谢，希望采纳！

Answer 2

解：所围成的立体的体积=∫<0,2π>dθ∫<0,√2>[(6-2r²cos²θ-r²sin²θ)-(r²cos²θ+2r²sin²θ)]rdr
=∫<0,2π>dθ∫<0,√2>(6-3r²)rdr
=∫<0,2π>dθ∫<0,√2>(6r-3r³)dr
=2π[3r²-(3/4)r^4]│<0,√2>
=2π[3(√2)²-(3/4)(√2)^4]
=2π(6-3)
=6π。

Answer 3

首先将两个方程并列找出两个曲面相交的曲线.通过消去z,我们得到：
2-x²=x²+2y²
即
x²+y²=1
所以,此曲线位于半径为1的圆柱面上.那么x和y的积分限很容易就找到了：x²+y²=1
要找到z的积分限,就需要知道两个曲面哪个在上面,哪个在下面.因为所包的体积在圆柱内部,所以要求x²+y²x²+2y²,即z=2-x²在上面,z=x²+2y²在下面.
根据上面的讨论,我们就可以写出体积分：
V=∫∫dxdy∫_(x²+2y²)^(2-x²)dz
这里我用符号_(x²+2y²)来表达z积分的下限,^(2-x²)表达z积分的上限.(记住xy积分限是圆形x²+y²=1.)
对z的积分很容易：
∫_(x²+2y²)^(2-x²)dz=(2-x²)-(x²+2y²)=2-2x²-2y²
剩下的就是对xy的两重积分.
V=∫∫(2-2x²-2y²)dxdy
这个积分最容易在极坐标里做.变换为极坐标时,x²+y²=r²,dxdy=rdrdφ.积分限为r从0到1,φ从0到2π.
V=∫∫(2-2x²-2y²)dxdy=∫_0^1(2-2r²)rdr∫_0^(2π)dφ
两个积分各为：
∫_0^(2π)dφ=2π
∫_0^1(2-2r²)rdr=r²-(1/2)r^4|_0^1=1/2
V=(1/2)2π=π
所以体积是π.