求∫∫∫sinzdv,其中Ω由锥面z=根号(x^2+y^2)和平面y=π围成

Answer 1

本题适合用截面法来计算
用竖坐标为z的平面来截立体，得到的截面方程为D：x^2+y^2=z^2，截面为圆，其面积为：πz^2
∫∫∫sinzdv
=∫sinz(∫∫dxdy)dz 中间那个二重积分的积分区域为截面D，由于被积函数为1，结果为截面面积
=∫(sinz)*πz^2dz z：0-->π
下面就是一个很简单的定积分了，只需分部积分就行了
=π∫(sinz)*z^2dz
=-π∫z^2d(cosz)
=-πz^2(cosz)+2π∫zcoszdz 前一式z：0-->π
=-π^3+2π∫zd(sinz)
=-π^3+2πz*sinz-2π∫(sinz)dz 中间式子z：0-->π
=-π^3+2πcosz z：0-->π
=-π^3-2π-2π
=-π^3-4π