高数 多元函数 为什么偏导数连续是可微的充分不必要条件

Answer 1

举个二元的例子：f(x,y)的全微分是
df(x,y)=əf/əx*dx+əf/əy*dy
要使df(x,y)在点(x0,y0)的全微分存在，必须且仅须上式右边əf/əx与əf/əy在点(x0,y0)的值存在
也就是说f对x与y的偏导数在点(x0,y0)的值存在
再进一步，若f对x与y的偏导数在点(x0,y0)是连续的，则肯定是存在的；但反之，若偏导数在该点存在，不一定能推出偏导数在该点连续的。
因此偏导数连续能推出可微，但反之不能；故是可微的充分不必要条件

Answer 2

楼上的讲法当中是有错误的，偏导存在不可以推出可微。
偏导存在且连续 => 可微
可微 => 偏导存在
这两个都是充分不必要的。

至于为什么充分不必要，只需要一个例子就行了，比如f(x,y)=x^2*sin(1/x)，f(0,y)=0，这样(0,0)点可微但是偏导不连续。

Answer 3

有连续偏导推出可微是教材定理，可翻阅教材看具体证明。
但可微，不能推出偏导数连续，反例见参考资料。

参考资料：http://www.duodaa.com/view_476.html