曲面质量积分公式

Answer 1

第一类曲线积分：即数量值的曲线积分（结果与积分路径的方向无关）
第二类曲线积分：即向量值函数的曲线积分（计算结果与积分路径的方向有关）
第一类曲线积分的实际意义可以理解成“曲线的质量“。被积函数即为曲线上某一点的线密度与坐标的函数关系。
以此得到计算公式：若x=x(t),y=y(t),a≤t≤b
int_{L}^{}f(x(t),y(t))ds=int_{a}^{b}f(x(t),y(t))sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}dt
多数情况下，我们应当是已知 y=y(x) ，则代入以上公式立得：
int_{L}^{}f(x,y)ds=int_{a}^{b}f(x,y(x))sqrt{1+y'^2(x)}
而第二类曲线积分的物理意义可以是变力F=(P,Q)沿定向曲线弧L所做的功。
其计算公式也由参数方程推导。
当 x=varphi(t),y=psi(t) 时
int_{L}^{}Pdx+Qdy=int_{a}^{b}Pdvarphi(t)+Qdpsi(t)=int_{a}^{b}[P(varphi(t),psi(t))varphi'(t)+Q(varphi(t),psi(t))psi'(t)]dt
当第二类曲线积分由平面推广到空间曲线时，类似的公式仍成立。
而此时，使用斯托克斯公式转化为二重积分往往更加简便：
oint_{Gamma}^{}Pdx+Qdy+Rdz=iint_{S}^{}(frac{partial R}{partial y}-frac{partial Q}{partial z})dydz+(frac{partial P}{partial z}-frac{partial R}{partial z})dzdx+(frac{partial Q}{partial x}-frac{partial P}{partial y})dxdy
由于斯托克斯公式适用的是闭合曲线，当我们计算非闭合曲线的第二类曲线积分时，往往需要将曲线首尾相连形成闭合区域，再减掉连接线部分对应的曲线积分。
两类曲线积分的关系：
int_{L}^{}Pdx+Qdy=int_{L}^{} (Pcosalpha+Qcosbeta)ds
其中，cosα，cosβ为曲线上某一点（x,y)处切向量的方向余弦
两类曲线积分的理解与计算都是有手就行的（）。
然而一旦牵扯上格林公式，就出大问题。
格林公式：oint_{C}^{}Pdx+Qdy=iint_{D}^{}(frac{partial Q}{partial x}-frac{partial P}{partial y})dxdy （注：针对的是闭合曲线）
简单的应用就是 oint_{C}^{}xdy-ydx=2iint_{D}^{}dxdy=2S
以此求平面面积
当我们采用格林公式求第二类曲线积分时，难免会遇到以下情况：
被积函数在某一点没有定义，但闭合曲线所围区域包含这个点，此时就需要我们来把这一点给挖掉。
我们可以以该点为圆心取一个极小的圆，分两部分计算曲线积分。其中，小圆周的曲线积分不使用格林公式（因为存在没有定义的点），而剩余部分使用格林公式即可。
而对于非闭合曲线积分的计算，格林公式的推论也能起到一些作用：
曲线积分 int_{C}^{}Pdx+Qdy 在单连通区域 D 内与路径无关，只与始末位置有关的充要条件为： frac{partial P}{partial y}=frac{partial Q}{partial x} （证明方法很简单，以任意方式连接其始末位置，围成的区域二重积分为0即可得证）（大概……）
而 frac{partial P}{partial y}=frac{partial Q}{partial x} 成立时，还有一个结论：即此时Pdx+Qdy一定能在区域D内表示成某一函数的全微分。此时称Pdx+Qdy为恰当微分。
而该函数u(x,y)的求法也很简单，从某一点（a,b)到(x,y)沿直线对Pdx+Qdy积分即可。（毕竟与路径无关）
接下来是更加复杂的曲面积分
1.第一类曲面积分：数量值函数的曲面积分，与曲面的侧无关
2.第二类曲面积分：向量值函数在定向曲面上的积分
第一类曲面积分的物理意义可以看作是“曲面的质量”，被积函数是曲面上某一小点的面密度与其坐标的关系。
而第二类曲面积分的物理意义可以与高中物理所学的”磁通量“联系，被积函数为流体F=（P,Q,R）通过定向曲面时的总流量。
下面直接给出第一类曲面积分的计算公式，推导过程略去。
iint_{S}^{}f(x,y,z)dS=iint_{D}f(x,y,z(x,y))sqrt{1+z'^2_{x}+z'^2_{y}}dxdy
其中，区域D为曲面S在xOy上的投影区域，要求S上的点与D上的点一一对应，否则分割S后再投影，分别计算。
而当曲面S由参数方程确定时，公式变为：
iint_{S}^{}f(x,y,z)dS=iint_{D}^{}f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))sqrt{EG-F^2}dudv
其中 sqrt{EG-F^2}=sqrt{A^2+B^2+C^2}
A,B,C,E,G,F为何值详见我的另一篇文章。
hiki：重积分一章知识点总结
接下来是重头戏：
第二类曲面积分
我们先给出两种曲面积分的关系：
设S为一个有向曲面，S上的单位法向量为n=（cosα，cosβ，cosγ）
则 iint_{S}^{}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=iint_{S}^{}(Pcosalpha+Qcosβ+Rcosgamma)dS
可结合向量的数量积计算方法推导。
以投影到xOy平面为例，我们尝试推导第二类曲面积分计算公式。
我们知道，当z=f(x,y)时法向量n还可以表示为：
n=pmfrac{1}{sqrt{1+f'^2_{x}+f'^2_{y}}}(-f'_{x},-f'_{y},1)
其中，当法向量指向上方（即z轴方向）时取正号（为保证确定的是曲面的上侧），指向下方时取负号（保证确定的是曲面的下侧）
dS=sqrt{1+f'^2_{x}+f'^2_{y}}dxdy
那么代入上式即可得：
iint_{S}^{}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=pmiint_{D_{xy}}^{}[P(x,y,f(x,y))(-f'_{x})+Q(x,y,f(x,y))(-f'_{y})+R(x,y,f(x,y)]dxdy
以上方法称为统一投影法。
观察上式我们发现，Rdxdy的形式没有任何改变，其他两项都得多乘上一个东西。
所以就诞生了另一种思想：将三个式子拆开，变为三个第二类曲面积分。分别投影到三个平面xoy,yoz,zox以简化计算。
还有一个值得注意的是：
在式子iint_{S}^{}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=pmiint_{D_{xy}}^{}[P(x,y,f(x,y))(-f'_{x})+Q(x,y,f(x,y))(-f'_{y})+R(x,y,f(x,y)]dxdy
中，两边的dxdy表示的意义是不同的
右边表示的是 dsigma ,即面积微元。而左边的dxdy表示的是 cosγdS ，即dS在xOy平面上的有向投影面积。
当曲面方程由参数方程确定时，计算公式变为：
iint_{S}^{}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=pmiint_{D}^{}(PA+QB+RC)dudv
其中：当（A,B,C）的方向与S方向一致时取正号，否则取负号。
这里的（A,B,C）实际上也是曲面的法向量，一致指的是：外侧对应外法向量，内侧对应内法向量。
高斯公式：
高斯公式实际上就是格林公式在空间上的推广
iint_{S}^{}{}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=iiint_{V}^{}(frac{partial P}{partial x}+frac{partial Q}{partial y}+frac{partial R}{partial z})dV
dV=dxdydz
注意，这里的曲面也应当是闭合曲面（可惜知乎识别不了variint)
相关用法类比格林公式即可。
例如：
3V=iiint_{V}^{}3dV=iint_{S}^{}xdydz+ydzdx+zdxdy
一道经典（大概）的例题：
hiki：一道让熬夜人险些猝死的第一类曲面积分计算题
关于第二类曲面积分，还有一个很奇怪的注意事项：
当我们利用被积区域和被积函数的奇偶性简化第一类曲面积分的计算时，一般都有这样的结论：
若被积区域 Sigma 关于z=0对称，则若被积函数为奇函数，则 iint_{Sigma}^{}R(x,y,z)dS=0
若为偶函数，则为一边的二倍。这是很自然可以想到的
然而在第二类曲面积分利用奇偶性计算时，
由于被积区域从一边翻到另一边时，法向量的方向也要发生相反的变化，所以：
若被积函数为偶函数，结果为0；若被积函数为奇函数，则结果为原来的二倍。