第二型曲线积分的问题

Question

第二型曲线积分的问题打问号处是如何求得的？

Answer 1

同学你好，你圈的那部分其实是直接用了第二类曲面积分的求解公式，∫∫Σxdydz=∫∫Σx(y,z)dydz,因为你其实是要求一个二重积分，积分区域是在yoz面上，所以被积函数里就不能出现x,必须把x用y和z表示出来,这样才能把这个二重积分求出来。由题意得，z=√（a²-x²-y²）,则x=√(a²-z²-y²).

追问

为什么是两倍呢？那个-2a是为什么。

追答

哦对，这个忘了给你说。因为x是关于yoz面的奇函数，所以是二倍关系。第二类曲面积分和第二类曲线积分的对称性性质跟其他积分是相反的。一般的积分，若被积函数是奇函数，则积分为0，若被积函数是偶函数，积分则为二倍的。而对于第二类曲面积分和第二类曲线积分，则奇函数是二倍，偶函数积分是0,。
由于下半球面取得是上侧（内侧），所以求曲面积分时应该带负号。

追问

！明白啦