大一高数不定积分

Question

第5题

Answer 1

首先，奇函数在对称区间的积分值为0，因此该积分的第二部分为0；

第一部分积分，被积函数表示x轴上方的半圆

该积分的值等于该半圆的面积。

因此 这个积分=1/2*π*2^2+0=2π

Answer 2

∫cos(√x)dx
令√x=u,则dx/2√x=du,dx=2(√x)du=2udu,
原式=2∫ucosudu
=2∫ud(sinu)
=2[usinu-∫sinudu]
=2(usinu+cosu)+C
=2[(√x)sin(√x)+cos(√x)]+C
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
∫√x(x+1)^2dx
令√x=t, 则dx=2tdt，带入
=∫t(t^2+1)^2*2tdt
=∫2t^6+4t^4+2t^2dt
=2/7t^7+4/5t^5+2/3t^3+c
反带回
=2/7(√x)^7+4/5(√x)^5+2/3(√x)^3+c
~~~~~~~~~~~~
∫e^x/(1+e^x)^(1/2)dx
=∫2d[(1+e^x)^(1/2)]
=2(1+e^x)^(1/2)+c

Answer 3

如图

Answer 4