如图，圆锥的底面半径是r，高是h,

Question

(1) 把高n等分，以h/n为高，在圆锥内作出n－1个内接圆柱，求这些圆柱的体积之和。
(2) 求证：当n无限增大时，这些圆柱的体积之和的极限是圆锥的体积1/3πr^2h(注明：三分之一，派 ，R的平方 ，H )

大侠请详细解答，先谢了。

Answer 1

解：
（1）将圆锥高n等分，根据相似图形，易得到各圆柱的底面半径依次为
r/n、2r/n、...、（n-1)r/n
所以体积之和
V和=π(r/n)^2*(h/n)+π(2r/n)^2*(h/n)+...+π((n-1)r)^2*(h/n)
=πr^2*h/n^3*(1^2+2^2+...+(n-1)^2)
(2)根据自然数平方级数和公式可知
V和=πr^2*h/n^3*((n-1)*n*(2n-1)/6)
=πr^2*h*(1-1/n)*1*(2-1/n)/6
当n无限增大时，1/n=0,因此
V和=πr^2*h*2/6=1/3πr^2h
证毕