求幂级数∞∑n=1 n*x^(n-1)的和函数

Question

求详细过程QAQ

Answer 1

因为[(-1)^(n-1) x^n/n]'=(-x)^(n-1)
所以S'(x)=∑[(-1)^(n-1) x^n/n]'=∑(-x)^(n-1)=1/(1+x),-1x=-1时∑(-1)^(n-1) x^n/n=∑-1/n发散
x=1时∑(-1)^(n-1) x^n/n=∑(-1)^(n-1)/n为莱布尼茨交错级数,故收敛
S(x)=∫dx/(1+x)=ln(1+x)+C
又S(0)=0,C=0
故S(x)=ln(1+x)

Answer 2

Answer 3

先积分再求导。