多元函数微分学 隐函数的偏导数 函数z=z(x,y)由方程F(x+zy^-1,y+zx^-1)=0

Question

多元函数微分学 隐函数的偏导数
函数z=z(x,y)由方程F(x+zy^-1,y+zx^-1)=0所给出,其中F具有连续的偏导数,证明
x*∂z/∂x+y*∂z/∂y=z-xy。求高数大神给解！！！谢了(^～^)

Answer 1

F(x+z/y,y+z/x)=0

对x求偏导数

得F1'*[1+∂z/∂x*(1/y)]+F2'*[∂z/∂x*(1/x)-z/x²]=0
解得∂z/∂x=(F2'*z/x²-F1')/(F1'/y+F2'/x)
对y求偏导数
得F1'*[∂z/∂y*(1/y)-z/y²]+F2'*[1+∂z/∂y*(1/x)]
解得∂z/∂y=(F1'*z/y²-F2')/(F1'/y+F2'/x)
计算可以得到x*∂z/∂x+y*∂z/∂y=z-xy