高等数学中，映射 函数 多值函数的定义对错分析。请研究过的高人指点加分哦

Question

高等数学同济五版中，映射的定义中提到：对于非空集合X Y，对于x属于X，存在对应法则f，形成映射f:x到y,其中x在定义域内都有唯一确定的y值与之相对应；
而后面函数定义指出：函数属于定义域、值域都是实数的映射；
在后面指出函数一些例子，其中剃刀多值函数例如：x平方+y平方=r平方，可以看出一个x值对应多个y值。
可见多值函数与映射定义相矛盾，如果不是映射那么也就谈不上函数了，那么多值函数是否不属于函数？
看了3层的发言，2楼实质性错误，那个例子即使没有给定义域值域也毋庸置疑。1楼的大哥很棒，3楼的也挺好的都是实质性正确的，发完问题我想这个问题，发现自己进死胡同了，其实多值函数在高等数学这个范围内不是函数，而是一种称谓，我们可以加一定的条件让他变成函数。
期待有更精彩、更深入的发言！！！

Answer 1

函数，映射都有很广泛的含义，你的书中表述不清楚我用自己的话跟你讲吧（我学的不是 数学分析 所以表述不是很准确，大概理解实质就 行）， 映射指 ：两个集合 计作 A B ，A、B中可以是任意元素（坐标，多项式，数，字母。。。总之什么都可以，只要符合集合中对元素的定义就行），A中任意一个元素 计作a, 在B中都有且仅有一个元素与a对应，（也包括A中多个元素对应B中一个元素的情况），把这种 对应关系 计作 f ， 这就是映射 。
相当于 两个东西用线连起来表示对应关系，线段箭头指向 B(值域)，线段始于A(定义域)， f 就是描述该线段。 值域，定义域，映射关系（这个比较模糊，主要是定义域，值域）

函数其实也差不多，个人理解就是映射的子集，数学中一般就指 对于给定值（定义域），总有唯一的值（值域）与之对应，广义的 例如计算机中函数 对于一个输入，有唯一的输出与之对应。

对于你说的例子，
如果将：x平方+y平方=r平方，可以看出一个x值对应多个y值

你连 定义域 值域 都没有定义， 怎么成映射，若默认定义为R ,显然两个都不满足。

Answer 2

这么说吧，映射不可以“一对多”。

函数的定义是源于：

对映——映射——函数。

然后函数还有扩展。非常广。

比如：函数当然可以扩展到复数域啦。复函数嘛。

所以说，那个函数定义是狭义的。指的是狭义的“函数”的定义。

广义的“函数”就包括很多了。比较抽象。

多值函数不是狭义的函数，但是广义的函数。

Answer 3

设 X 是一个集合，P(X) 表示 X 的所有子集的集族，称作 X 的幂集。

设 f 是从集合 X 到 Y 的一个“多值映射”，那么实际上由定义 f 不是一个映射。
但是 f 可以看作从集合 X 到 P(Y) 的一个映射。

函数的定义可以扩展为“值域是实数子集的映射”；
有的人（比如 S. Lang）把函数定义为“值域是一个域（抽象代数概念）的映射”；
还有很多人把函数与映射等价看待。

Answer 4

映射、函数、还有变换，本质是一个东西，略有区别，分别是集合观点、数学分析观点、代数观点出发的。函数的概念对于简单的对应关系有所扩充，尤其在复数域的时候，书上所说的“函数定义”也显得矛盾了………………我觉得这是也数学学习的一个特点，在特定水平下我们接受的概念是局限在这个水平的，当我们接触的数学概念面宽广了，概念就有所调整………………就比如小学时老师说0不是自然数…………初中时老师说0又是了，大概这个道理，同学在数学概念上进入impasse是好的~~~利于把东西看透彻

Answer 5

多值函数实际上是流形的映射，可逆的称为光滑流形映射，在微分拓扑学中会有详细的介绍，微分流形中解释了什么是坐标系和参数化（即使我们早已熟知），而复数空间与实数二维空间等距同构，不必单独列出，即使他有自身的一些特性