概率论与数理统计题，求分布函数与概率密度

Answer 1

设极角度X
弦长Y=2R*sin((π-X)/2) (0<X<π)这麼基本的自己算
Y=2R*sin((π+X)/2) (-π<X<0)

0<X<π时
P(Y<y)=P(sin((π-X)/2)<y/2R)=P{0<(π-X)/2<arcsin(y/2R)}+P{π-arcsin(y/2R)<(π-X)/2<π}
=P{π-2arcsin(y/2R)<X<π}+P{-π<X<-π+2arcsin(y/2R)}
=P{π-2arcsin(y/2R)<X<π} (因为 -π+2arcsin(y/2R)<0 ，後半和 0<X<π冲突，所以去掉)

-π<X<0时
P(Y<y)=P(sin((π+X)/2)<y/2R)
=P{0<π+X<2arcsin(y/2R)}+P{2π-2acrsin(y/2R)<π+X<2π}
=P{-π<X<2arcsin(y/2R)-π} +P{π-2arcsin(y/2R)<X<π}
同理，前半部分去掉
=P{π-2arcsin(y/2R)<X<π}

综合起来都是
P(Y<y)=P{π-2arcsin(y/2R)<X<π}
=2arcsin(y/2R)/2π
=arcsin(y/2R)/π (0<y<=2R)

Fy(y)=0 (y<=0)
=arcsin(y/2R)/π (0<y<=2R)
=1 (y>2R)

fy(y)=f'y(y)= (1/2R)/{π(1+y^2/(4R^2))}
= 2R/{4πR^2+πy^2} (0<y<=2R)

=0 else