求解求证几道关于定积分的题目

Question

1)求解：∫x^2（1-x^2)^0.5dx {上限是1，下限是0}
2)设在上连续，证明：∫f(x)dx=(b-a)∫f[a+(b-a)x]dx {左上限是b，左下限是a，右上限是1，右下限是0}
3)证明：∫x^m(1-x)^ndx=∫x^n(1-x)^mdx {左上限是1，左下限是0，右上限是1，右下限是0}
4)利用换元积分法证明：∫xf(sinx)dx=∏∫f(sinx)dx {左上限是∏，左下限是0，右上限是∏/2，右下限是0}

1)中开根号不会定...所以用了^0.5代替;
4)∏/2、 ∏是二分之派和派...是这个吧...
望高手不吝赐教~
因为有限定,所以目前是100分...有解答的话我会再追加每道50分的~感谢~

Answer 1

1)
设x=cost,
则原式
=∫(Pi~0) cost^2sintd(cost)
=∫(0~Pi) sint^2cost^2dt
=∫(0~Pi) [1-cos(4t)]/8dt
=[t/8-sin(4t)/32] |(0~Pi)
=Pi/8

2)
右边换元x=(t-a)/(b-a)既得左边,得证.(过程从略)

3)
同上题做法,右边换元x=1-t即可.

4)
左边
=∫(0~Pi) xf(sinx)dx
=∫(0~Pi/2)xf(sinx)dx+∫(Pi/2~Pi)xf(sinx)dx (后面的积分做换元x=Pi-t)
=∫(0~Pi/2)xf(sinx)dx+∫(0~Pi/2)(Pi-t)f(sint)dt
=Pi∫(0~Pi/2)f(sinx)dx
=右边,得证.

Answer 2

前三题很简单
分别另x=sint,t=a+(b-a),t=1-x,即可简单解决
第四题
∫xf(sinx)dx（0,∏)=∫xf(sinx)dx（0,∏/2)+∫xf(sinx)dx（∏/2,∏)
后者中令t=∏-x
则=∫(∏-x)f(sinx)dx（0,∏/2)
两式相加即得

Answer 3

1)令x=sin t (0<=t<=∏/2)代入式中可化简求解

2)令t=(x-a)/(b-a) 则x=a+(b-a)t (0<=t<=1)代入左边可得到右边

3)令t=1-x 则x=a-t (0<=t<=1)代入左边可得到右边

4)先分步，再换元

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