求证:a^n-b^n=(a+b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+a^(n-3)b^2+......a^2b^(n-3)+ab^(n-2)+b^(n-1)

Answer 1

利用等比数列求和公式
a^(n-1)+a^(n-2)b+a^(n-3)b^2+......a^2b^(n-3)+ab^(n-2)+b^(n-1)
是首项为a^(n-1) 公比为b/a的等比数列
a^(n-1)+a^(n-2)b+a^(n-3)b^2+......a^2b^(n-3)+ab^(n-2)+b^(n-1)
=a^(n-1)(1-(b/a)^n)/(1-b/a)
=[a^(n-1)-b^n/a]/(1-b/a)
=(a^n-b^n)/(a-b)

所以

(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+a^(n-3)b^2+......a^2b^(n-3)+ab^(n-2)+b^(n-1)]
=a^n-b^n

Answer 2

(a+b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+a^(n-3)b^2+......a^2b^(n-3)+ab^(n-2)+b^(n-1)]
=a^n+a^(n-1)b+a^(n-2)b^2+......a^2b^(n-3)+ab^(n-2))-(a^(n-1)b+a^(n-2)b^2+a^(n-3)b^3+......a^2b^(n-2)+ab^(n-1)+b^n)=a^n-b^n