将二重积分变成极坐标形式，并计算其值？

Question

打勾的2 4小题

Answer 1

在数学中，极坐标系是一个二维坐标系统。该坐标系统中任意位置可由一个夹角和一段相对原点—极点的距离来表示。极坐标系的应用领域十分广泛，包括数学、物理、工程、航海、航空以及机器人领域。在两点间的关系用夹角和距离很容易表示时，极坐标系便显得尤为有用；而在平面直角坐标系中，这样的关系就只能使用三角函数来表示。对于很多类型的曲线，极坐标方程是最简单的表达形式，甚至对于某些曲线来说，只有极坐标方程能够表示。

正如所有的二维坐标系，极坐标系也有两个坐标轴：

（半径坐标）和

（角坐标、极角或方位角，有时也表示为

或

。

坐标表示与极点的距离，

坐标表示按逆时针方向坐标距离0°射线（有时也称作极轴）的角度，极轴就是在平面直角坐标系中的x轴正方向。

比如，极坐标中的（3, 60°）表示了一个距离极点3个单位长度、和极轴夹角为60°的点。（−3, 240°）和(3, 60°)表示了同一点，因为该点的半径为在夹角射线反向延长线上距离极点3个单位长度的地方（240° − 180° = 60°）。

极坐标系中一个重要的特性是，平面直角坐标中的任意一点，可以在极坐标系中有无限种表达形式。通常来说，点（r, θ）可以任意表示为（r, θ ±n×360°）或(−r, θ ± (2n+ 1)180°)，这里n是任意整数。如果某一点的r坐标为0，那么无论θ取何值，该点的位置都落在了极点上。

使用弧度单位

极坐标系中的角度通常表示为角度或者弧度，使用公式2π*rad= 360°。具体使用哪一种方式，基本都是由使用场合而定。航海方面经常使用角度来进行测量，而物理学的某些领域大量使用到了半径和圆周的比来作运算，所以物理方面更倾向使用弧度。

希望我能帮助你解疑释惑。

Answer 2

由题设条件。可知积分区域D是y=Rx与x²+y²=R²和x轴围成的扇形区域。设x=ρcos
θ，y=ρsinθ。∴0≤ρ≤R，0≤θ≤arctanR。
∴原式=∫(0,arctanR)dθ∫(0,R)f(tanθ)ρdρ。
供参考。

Answer 3

x=rcosθ，y=rsinθ
则积分区域变为 r^2=Rrcosθ 即：r=Rcosθ θ∈[-π/2,π/2]
所以，原式为：∫[-π/2,π/2] dθ ∫[0,Rcosθ] √(R^2-r^2) r dr
=∫[-π/2,π/2] { -1/3* (R^2-r^2)^(3/2) |[0,Rcosθ] }dθ
=2∫[0,π/2] { R^3/3*(1- (sinθ)^3) }dθ
∫sin^3θdθ =∫sin^2θ*sinθ dθ
=-∫sin^2θdcosθ
=∫(cos^2θ -1)dcosθ
=cos^3θ/3-cosθ +C
原式=R^3*θ/3-R^3/3* (cosθ)^3/3+cosθ) |[0,π/2]
=πR^3/6

4.x=rcosθ，y=rsinθ
积分区域为: r∈[π, 2π] θ∈[0,2π]，原式
=∫[0,2π] dθ ∫[π,2π] sinr*r dr
=∫[0,2π] {-cosr*r +sinr|[π,2π] }dθ
=2π*（-2π-π）
=-6π^3