三重积分 高斯公式 如图所示

Question

高斯公式做的结果是？？我做出来是π*π-2πr，总觉不对。

Answer 1

补面S：z = 0下侧
∫∫(Σ+S) xydydz + xdzdx + x²dxdy
= ∫∫∫Ω (y + 0 + 0) dV
= 0
∫∫S xydydz + xdzdx + x²dxdy
= - ∫∫D x² dxdy、<== x² + y² ≤ 1
= - (1/2)∫∫D (x² + y²) dxdy
= - (1/2)∫(0→2π) dθ ∫(0→1) r³ dr
= - (1/2)(2π)(1/4)
= - π/4
得原式∫∫Σ xydydz + xdzdx + x²dxdy = π/4

另解：z = √(1 - x² - y²)、z'x = - x/√(1 - x² - y²)、z'y = - y/√(1 - x² - y²)
∫∫Σ xydydz + xdzdx + x²dxdy
= ∫∫D [ - xy * - y/√(1 - x² - y²) - x * - y/√(1 - x² - y²) + x² ] dxdy
= ∫∫D [ - (xy² + xy)/√(1 - x² - y²) + x² ] dxdy
= 0 + ∫∫D x² dxdy
= (1/2)∫∫D (x² + y²) dxdy
= π/4

追问

∫∫S xydydz + xdzdx + x²dxdy
= - ∫∫D x² dxdy、<== x² + y² ≤ 1
= - (1/2)∫∫D (x² + y²) dxdy
是什么意思？
= - ∫∫D x² dxdy、<== x² + y² ≤ 1
= - (1/2)∫∫D (x² + y²) dxdy

追答

S是平面z = 0取下侧
因此曲面积分化为二重积分时，就会有负号
也提示x² + y² ≤ 1就是二重积分的积分域D

追问

被积函数不是x²？怎么下面是(x² + y²) dxdy

追答

利用奇偶性
∫∫D x² dxdy = ∫∫D y² dxdy
= (1/2)∫∫D (x² + y²) dxdy
以便于凑合极坐标时的r²