求上丶下分别由锥面z=2-根号下x^2+y^2和旋转抛物面z=x^2+y^2围成的立体的体积

Answer 1

联立两个方程得题设立体在XOY平面上的投影D：x^2+y^2=1
故所求体积V=∫∫(D)[2-√(x^2+y^2)-(x^2+y^2)]dxdy
在柱坐标系下计算上述二重积分：令x=rcosa,y=rsina得到
V=∫∫(D)(2-r-r^2)rdrda=∫(0→2π)da∫(0→1)(2r-r^2-r^3)dr=(5/6)π
注：因为不方便输入希腊字母，这里用a代替θ，用r代替ρ。