计算∫∫∫(x^2+y^2)dxdydz, 积分区域由曲面z=2-x^2 和z=x^2+2y^2所围成的闭区域，在线等

Question

求过程，还有求大神告诉我这种积分区域是曲面围成的用什么方法求比较好，三重积分和三次积分有不同吗？是不是求多重积分都要画图？以及怎么快速判断曲面的图像…555我弱爆了，高数真难
求大神啊，可以再提高悬赏

Answer 1

解：∵方程z=2-x²和z=x²+2y²，求得x²+y²=1
∴所围成的闭区域在xoy平面上的投影是圆S：x²+y²=1
故∫∫∫<Ω>(x²+y²)dxdydz=∫∫<S>(x²+y²)dxdy∫<x²+2y²,2-x²>dz
=∫∫<S>(x²+y²)[(2-x²)-(x²+2y²)]dxdy
=2∫∫<S>(x²+y²)(1-x²-y²)dxdy
=2∫<0,2π>dθ∫<0,1>r²(1-r²)rdr (作极坐标变换)
=4π∫<0,1>(r³-r^5)dr
=4π(1/4-1/6)
=π/3。
说明：要快速判断曲面的图像，你必须要记住一些基本函数图像。例如此题中的，z=2-x²是
抛物曲面，z=x²+2y²是椭圆抛物曲面。