高等数学微积分无穷级数问题

Question

在将函数在x-xo处展开成幂级数时，有个方法是设u=？，我想请问一下u是不是只能代换成Ax^a，也就是只有这种形式的才能代换成u，然后用常用的公式？

比如（x-5）^2就不能设成u是吗？

Answer 1

1、只要正负项交错出现就是
交错级数
，通项里面可以是(-1)^n，也可以是(-1)^(n-1)。对于两种形式的交错级数，都可用莱布尼兹
定理
判别
收敛性
，因为莱布尼兹定理的条件都是针对通项的
绝对值
。
2、
级数
的一个
性质
是级数的通项乘以非
零数
k后收敛性不变。若k=0，不管原级数收敛还是发散，新级数肯定收敛。
3、
幂级数
的
四则运算
与求
极限
、求导、求积运算只能在收敛
域内
讨论。
4、你判断的只是级数不
绝对收敛
，它自身是交错级数，用莱布尼兹定理可知级数收敛，
最终结果
是级数条件收敛。
5、通项可以写成(-1)^n×sin(1/lnn)，先判断级数是否绝对收敛，n→∞时，sin(1/lnn)等价于1/lnn，1/lnn＞1/n，所以级数∑1/lnn发散，所以原级数不绝对收敛。用莱布尼兹定理可以判断级数是收敛的，所以级数条件收敛。
6、u(x)的极限存在非零，(x)的极限存在非零时，这个
式子
成立。对于
未定式
0^0，0^∞，∞^0，1^∞等形式，取
对数
后用
洛必达法则
。
7、|an|/n≤1/2(an^2+1/n^2)，由
比较法
，级数收敛。
8、讨论
数列
{an}的收敛性?很明显{an}单调减少
有界
，收敛。如果是级数∑an，用
比值法
，a(n+1)/an→0，级数收敛。
9、比值法，极限是4/5，级数收敛。
10、首先|q|＜1，否则S不存在。这里需要注意的是余项级数S-Sn=aq^n+aq^(n+1)+...中n是相对固定数，通项a*q^(n+k)，k从0到∞，所以S-Sn就是一个首项为aq^n，
公比
为q的
等比级数
，其和是aq^n/(1-q)。
11、1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)
-
1/(n+1)(n+2)]，求Sn时两两抵消。思路是:要想做到两两抵消，
分母
只能是相邻两个数相乘才行。
12、级数的性质:去掉有限项不改变级数的收敛性。自然也不可能改变幂级数的
收敛半径
。从
数列极限
的角度来说，去掉有限项，数列的收敛性，数列的极限都不变。

Answer 2

设u纯粹是为了书写方便，比如记u=x-x0,则展开成u的幂级数即可。

追问

我是指，若是展开成x的幂级数，你设（x-5）^2=u是不是不行啊。因为最后带进去的话不行啊。是不是必须得设Ax^a这种形式为u才行？

同样的，若是展开成x-xo的幂级数，是不是必须设A（x-xo）^a这种形式为u才行？

追答

那是的，是要设成u=A(x-x0)^a这种形式