a^-n=1/a^n这个公式的原理是什么？

Question

我不喜欢这样死记，既然这两个式子相等那就有原由的推理。然而我不会推，无法理解。求大神帮忙。

Answer 1

答案： An=n!(1-1/1!+1/2!-1/3！+...+(-1)^n*1/n!)

一会儿回来提供三种证明思路
思路一：数学归纳法。这个没什么可说。
思路二：注意到An/A(n-1)大致是n, 令 An=n!bn, 代入，得
bn-b(n-1)=-(b(n-1)-b(n-2))/n, b1=0, b2=1/2.
所以，bn-b(n-1)=-(b(n-1)-b(n-2))/n=-(-(b(n-2)-b(n-3))/(n-1))/n=...=(-1)^(n-2)(b2-b1)/(n*(n-1)*...*3)=(-1)^n*1/n!,
所以 bn=1-1/1!+1/2!-1/3！+...+(-1)^n*1/n!， An=n!bn等于上式。
思路三：这个公式是错置排列的公式。所谓错置排列，有一个通俗的说法。n 个人， 每人有一顶自己的帽子。 An 是他们每个人都戴错帽子的戴法数目。显然 A1=0 （一个人不可能戴错)， A2=1。对n>2的情况，第 n 个人的帽子必然戴到 某个第 i 人头上，i=1，2，..., n-1, 这有两种情况 1）第i个人的帽子戴到第n个人头上，则其余 n-2 个人要互相戴错，共有 A（n-2)种戴法；
2）另外一个人的帽子戴到第n个人头上，此时共有 A(n-1)种戴法。 总之，我们有 An=(n-1)(A(n-1)+A(n-2)), n>2. 而我们可以用容斥原理算出错置排列的数目如上，所以必然有An等于上面的数。

追问

一脸懵逼
不过那个帽子的说法挺有意思的。
我想知道那个“！”是什么。