求解不定积分∫e^x *(2x+1)/2√x dx的详细步骤

Answer 1

求解不定积分∫(e^x )(2x+1)/(2√x) dx的详细步骤

解：令√x=u，则x=u²ï¼Œdx=2udu；代入原式得：
原式=∫[e^(u²)](2u²+1)du=2∫u²e^(u²)du+∫e^(u²)du
=∫ud[e^(u²)]+ue^(u²)-∫ud[e^(u²)]=ue^(u²)+C=(√x)e^x+C

追问

我有答案……不知道过程，可是答案不等于这个，等于e^x-2√x+c……是哪错了吗？

追答

谁对谁错，只需将积分结果求导一下，看能不能得到被积函数，即可立判！
(e^x-2√x+C)'=e^x-1/√x=[(e^x)√x-1]/√x≠(e^x )(2x+1)/(2√x)，故此结果肯定是错的！
[(√x)e^x+C]'=(e^x)/[2(√x)]+(√x)e^x=(e^x)(1+2x)/(2√x)=被积函数，故此结果正确！

来自：求助得到的回答

Answer 2

∫ e^x • (2x + 1)/(2√x) dx
= ∫ e^x • 2x/(2√x) dx + ∫ e^x • 1/(2√x) dx
= ∫ e^x • x/√x dx + ∫ e^x d(√x)、∵(√x)' = 1/(2√x)
= ∫ √xe^x dx + √xe^x - ∫ √x d(e^x)、分部积分法
= ∫ √xe^x dx + √xe^x - ∫ √xe^x dx、前后一项抵消
= √xe^x + C