关于积分∫^＋∞ 0sinx/x^b dx的求解过程

Question

请注意函数是sinx/x^b,也就是分母变了，通过matlab可以知道这个积分的结果是Γ（1-b）*sin（π/2*(1-b))，但是我想知道推导的过程，有谁看到哪本资料有相关的推导过程吗？我主要是要抄一下这个过程

Answer 1

分享一种解法，利用欧拉公式“e^(ix)=cosx+isinx”和伽玛函数"Γ(α)=∫(0,∞)[x^(α-1)]e^(-x)dx，α>0时收敛"求解。

设I1=∫(0,∞)cosxdx/x^b，I2=∫(0,∞)sinxdx/x^b。∴I=I1+iI2=∫(0,∞)[e^(ix)]dx/x^b。
令x=it。∴I=[i^(1-b)]∫(0,∞)[e^(-t)dt/t^b=[i^(1-b)]Γ(1-b)。
而，i=e^(πi/2)，∴i^(1-b)=e^[π(1-b)i/2]=cos[π(1-b)/2]+isin[π(1-b)/2]。
∴I2=∫(0,∞)sinxdx/x^b=Γ(1-b)sin[π(1-b)/2]。
供参考。

追问

大神，你确保这种做法没问题哈？我要写在文章里的，其他专业的，论文推到这个积分了，只是我没学过复变什么的，所以就想着借鉴一个过程，老哥你确保没问题的话，财富值给你

追答

肯定啊。但须注明b=1时，原式=π/2；1-b>0，原式=Γ(1-b)sin[π(1-b)/2]即可。

追问

好的，非常感谢！