高等数学极坐标下二重积分转化为两次积分有疑问,求解答,非常困扰

Question

我们知道二重积分的几何意义是体积.直角坐标系下二重积分化为两次积分是分两步,第一步是固定一个x,算出A(x)这一片矩形截面积,然后乘以dx,得这片矩形的体积微元dV就是A(x)dx然后根据定积分的元素法思想再在x的变化范围内积分一次就是体积了.而极坐标下的二次积分的意义我就不明白了,第一步固定一个θ,算出∫(r₁(θ)→r₂(θ)) f(rcosθ，rsinθ) r dr,但是这个是什么?这个好像不是其中一片扇形面积A(θ)吧? 那A(θ)dθ也自然应该不是一小片扇形的体积微元dV啊,那第二步再在θ的范围内积分又怎么会是体积呢?

Answer 1

∫(r₁(θ)→r₂(θ)) f(rcosθ，rsinθ) r dr---------------------没有明确的几何意义，从量纲上来讲，它是体积的量纲；不过，(∫(r₁(θ)→r₂(θ)) f(rcosθ，rsinθ) r dr)dθ是微扇形的体积dV

追问

为什么(∫(r₁(θ)→r₂(θ)) f(rcosθ，rsinθ) r dr)dθ是微扇形的体积dV,那一小片扇形体积怎么是这样求呢?f(rcosθ，rsinθ)不就是是高么,高乘以极径长度,再乘以dr，再乘以角度dθ
为什么是那微扇形的体积?不理解

追答

坐标系不一样，rdrdθ是面积元素，不可割裂。r方向的积分是r方向面积元素(以及定义在其上函数)的累加。

追问

还是不懂,你就告诉我你为什么知道(∫(r₁(θ)→r₂(θ)) f(rcosθ，rsinθ) r dr)dθ是微扇形的体积dV?dV的计算公式是什么?比如直角坐标系的微矩形体积dV是截面矩形面积乘以dx,也就是相当于底面积X高

追答

你在学习新知识时采用了以现有知识为基点，向外扩展的方式，这是对的。但你不能要求新的东西完全与你现有的知识一样，你只能去认识一个新东西，不仅发现新东西的同，更要能驾驭新东西的异。

Answer 2

三重积分是体积，二重是面积。三重积分下是球坐标，二重积分是极坐标。

追问

谁说二重积分就是面积了..,是积分范围是面积还差不多