求教一道高数题

Question

求教一道高数题~希望可以给出详细一点的解答步骤~谢谢~

Answer 1

把拉姆达1换成a,拉姆达2换成b,拉姆达3换成c（打不出来），，即证明存在唯一的一种实数a,b,c，使得当h趋于0时，af(h)+bf(2h)+c(3h)-f(0)是比h^2高阶的无穷小。
证明：首先af(h)+bf(2h)+c(3h)-f(0)必须是无穷小，所以af(h)+bf(2h)+c(3h)-f(0)趋于0，h趋于0，得a+b+c=1。
然后用洛必达法则，[af(h)+bf(2h)+c(3h)-f(0)]/h^2趋于0，h趋于0 等价于 [af'(h)+2bf'(2h)+3cf'(3h)]/(2h)趋于0，h趋于0，所以af'(h)+2bf'(2h)+3cf'(3h)也是无穷小，即af'(h)+2bf'(2h)+3cf'(3h)趋于0，h趋于0，得a+2b+3c=0。
继续使用洛必达法则，有[af'(h)+2bf'(2h)+3cf'(3h)]/(2h)趋于0，h趋于0 等价于 [af"(h)+4bf"(2h)+9cf"(3h)]/2趋于0，h趋于0，所以af"(h)+4bf"(2h)+9cf"(3h)也是无穷小，即af"(h)+4bf"(2h)+9cf"(3h)趋于0，h趋于0，得a+4b+9c=0。
由上面三条方程得唯一的一组实数a=3,b=-3,c=1，使得使得当h趋于0时，af(h)+bf(2h)+c(3h)-f(0)是比h^2高阶的无穷小。
证毕。

追问

首先谢谢亲的回答！但是我想问一下洛必达法则不是只能保证当f'(x)/g‘(x)的极限等于A或∞时，才能保证f(x)/g(x)的极限等于A或∞，但是反过来不是不成立吗？比如当x趋于0时，(x+sinx)/x的极限如果用洛必达法则极限是不存在的，但是实际上极限是1。所以我的疑问是，用了一次洛必达法则后，[af'(h)+2bf'(2h)+3cf'(3h)]/(2h)这个式子的极限不应该是不一定存在吗？

追答

应该确实有问题，因为洛必达法则适用条件首先要是0/0或者无穷大/无穷大，所以要先说明af'(h)+2bf'(2h)+3cf'(3h)也是无穷小。如下：(lim表示h趋于0的极限)
设F(h)=af(h)+bf(2h)+c(3h)-f(0)，则limF(h)/h^2=0，且F(0)=limF(h)=0。
然后limF'(h)=F'(0)=lim[F(h)-F(0)]/(h-0)=limF(h)/h=0。
再然后用洛必达法则0=limF(h)/h^2=limF'(h)/2h=limF"(h)/2。
上面这三条分别就是那三条式子。就是第三步再用洛必达就好了。
不好意思啊，上课无聊在机房回答的，没有细想。。