计算三重积分 ∫∫∫（x^2+y^2+z）dxdydz 其中D为曲面z=1-x^2-y^2与xOy平面所围成的区域.

Question

可不可以将x^2+y^2+z =1代入？
why?

Answer 1

要注意重积分(二重,三重,……)不能将积分区域代入被积函数

而线积分，面积分则可以将积分曲线、曲面的方程代入被积函数

以上是性质,请时刻牢记

你题目的详细计算过程请见下图

(看不到的话请Hi我)

Answer 2

不能带入计算，因为三重积分的积分区域是一个区域，是曲面z=1-x^2-y^2与xOy平面所围成的区域，并不是曲面本身，x^2+y^2+z =1只是曲面的方程，所以不能带 。楼上的老兄看清楚好不，那个性质三代入的是被积函数，不是积分区域，三重积分积分区域是不能带的

Answer 3

可以的，三重积分能代入，二重的则不能。
参考见http://baike.baidu.com/view/621910.htm的性质三。

Answer 4

4(x-y-1)=3(1-y)-2
4x-4y-4=3-3y-2
y=4x-5
代入第二个方程，有：
x/2+(4x-5)/3=2
两边乘以6，
3x+2(4x-5)=12
11x=22
所以x=2
代入y=4x-5，y=3

Answer 5

不可以，可以用球坐标来做