由二重积分几何意义,∫∫√(1-x^2-y^2)dxdy= ,其中D={(x,y)| x^2+y^2 <=1, x,y>=0}

Question

由二重积分几何意义,∫∫√(1-x^2-y^2)dxdy= ________,其中D={(x,y)| x^2+y^2 <=1,x, y>=0}
比较大小 ∫∫In(x^2+y^2)dxdy___∫∫[In(x^2+y^2)]^3dxdy。D：e≤x^2+y^2≤2e
求过程 谢谢！

Answer 1

1，在D上的二重积分∫∫f(x,y)dxdy的几何意义是，以D为底，以曲面z=f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积，本题中根据被积函数和积分区域，可以看出这个积分表示球体x^2+y^2+z^2=1在第一卦限内部分的体积，因此积分=π/6。

2，由于两个积分的积分区域相同，只要比较被积函数在D上的大小即可，由e≤x^2+y^2≤2e可知ln(x^2+y^2)≥1，因此In(x^2+y^2)≤∫[In(x^2+y^2)]^3，即∫∫In(x^2+y^2)dxdy≤∫∫[In(x^2+y^2)]^3dxdy。

Answer 2

1D二重积∫∫f(x,y)dxdy几何意义D底曲面z=f(x,y)顶曲顶柱体体积本题根据积函数积区域看积表示球体x^2+y^2+z^2=1第卦限内部体积积=π/6
2由于两积积区域相同要比较积函数D即由e≤x^2+y^2≤2e知ln(x^2+y^2)≥1In(x^2+y^2)≤∫[In(x^2+y^2)]^3即∫∫In(x^2+y^2)dxdy≤∫∫[In(x^2+y^2)]^3dxdy