计算I=∫∫∫Ω(x^2+y^2)dv,其中Ω是由曲面x^2+y^2=2z及平面z=2所围成的区域。

Answer 1

用截面法，积分=∫dz∫∫(x^2+y^2)dxdy，先用坐标计算∫∫(x^2+y^2)dxdy=∫dθ∫r^3dr（r积分限0到√(2z)，θ积分限0到2π）=2πz^2，所以原积分=2π∫z^2dz（积分限0到2）=(2π/3)z^3=16π/3