∫(1+x/1-x)^1/2dx 求不定积分 ∫1/(x-x^2)^1/2dx 解决这类问题，我有点无从下手，请高手指点分析思路。

Answer 1

1.求不定积分：∫√[(1+x)/(1-x))]dx
解：先求定义域：由(1+x)/(1-x)≥0,得(x+1)/(x-1)≤0,故 -1≤x<1.
于是可令x=sin²u, dx=2sinucosudu,故
原式=2∫√[(1+sin²u)/(1-cos²u)]sinucosudu=2∫[√(1+sin²u)]cosudu=2∫[√(1+sin²u)]d(sinu)
=(u/2)√(1+sin²u)+(1/2)ln[sinu+√(1+sin²u)]+C
将u=arcsin√x代入即得
∫√[(1+x)/(1-x))]dx ＝(1/2){[arcsin√x]√(1+x)+ln[√x+√(1+x)]}+C
2. 求不定积分：∫dx/√(x-x²)
解：原式＝∫[2dx/√[1-(1-2x)²]=-∫[d(1-2x)]/√[1-(1-2x)²]=-arcsin(1-2x)+C.