高数定积分旋转体体积

Question

求详解，很懵

Answer 1

求由x轴与y=lnx，x=e所围图形绕x=e旋转一周所得旋转体的体积。

解：

你可能没搞明白这种计算方法的实质含意。其运算原理是这样的：在旋转体上距y轴的距离

为x处取一厚度为dx，旋转半径为(e-x)的薄壁园筒，园筒的高度y=lnx；此薄壁园筒的微体

积dV=2π(e-x)lnxdx；故总体积V：

【在你的计算式中，只有园筒的高度和厚度，没有旋转半径，因此算出来的是你画阴影线的截面的面积，而不是该面积绕轴x=e旋转出来的体积，所以是错的。】

Answer 2

问题其实非常好做，你只需要记住这个旋转的体积就是一个二重积分，无论它怎么变？行都可以利用这个二重积分导出来
也就是说，这个绕x轴绕y轴旋转而形成的旋转体，他就是利用这个最基本的二重积分导出来的，当旋转轴不是x轴和y轴的时候，这个公式就显得非常重要了
你看一下能不能懂我写出的公式？如果懂的话请采纳，不懂得话追问讨论，谢谢

追问

看不懂...（e-x） 是怎么来的，理解不上去

追答

明白不⊙ω⊙

追问

我再好好看看

Answer 3

简单分析一下，详情如图所示

Answer 4

x可以化为e^lnx 其实要求x必须为正数,但是如果这只是一个过程,而最终结果中你将 ln 去掉了,那么所求得的结果对于负数也是成立的.
因此在这种情况下,在解微分方程时,如果遇到对数,而最终的结果中没有对数的话,那么可不用加绝对值,这个不会丢解.虽然在过程中方程并不同解,但最终结果正确,且不加绝对值计算量有时小得多,因此这个方法基本上在老师中是公认可以的.
反正那些专门搞常微分方程研究的人都是这么在用,你要是觉得不保险可以加上绝对值.麻烦一点,但保险.这个与加不加C没关系,主要和 ln 是否最终被去掉有关.

Answer 5