1/[x(1+x)(1+x+x^2)] ≡A/x+B/(x+1) +(Cx+D)/(x^2+x+1)
=>
1 ≡A(1+x)(1+x+x^2)+Bx(1+x+x^2) +(Cx+D)x(1+x)
x=0， => A = 1/3
x=-1， =>B=-1
A+B+C =0
1/3 -1 + C=0
C= -2/3
x=1
6A + 3B + 2(C+D) = 1
2-3 - 4/3 + 2D =1
D = 5/3
1/[x(1+x)(1+x+x^2)]
≡(1/3)(1/x)- 1/(x+1) + (1/3)[(-2x+5)/(x^2+x+1)]
∫dx/[x(1+x)(1+x+x^2)]
=∫{ (1/3)(1/x)- 1/(x+1) +(1/3) [(-2x+5)/(x^2+x+1) } dx
=(1/3)ln|x| - ln|x+1| +(1/3) ∫(-2x+5)/(x^2+x+1) dx
=(1/3)ln|x| - ln|x+1| -(1/3) ∫(2x+1)/(x^2+x+1) dx +2∫dx/(x^2+x+1) dx
=(1/3)ln|x| - ln|x+1| -(1/3)ln|x^2+x+1| +2∫dx/(x^2+x+1) dx
=(1/3)ln|x| - ln|x+1| -(1/3)ln|x^2+x+1| +(4√3/3)arctan[( 2x+1)/√3] + C
x^2+x+1 = (x +1/2)^2 + 3/4
x+1/2 =(√3/2)tanu
dx =(√3/2)(secu)^2 du
∫dx/(x^2+x+1)
=∫(√3/2)(secu)^2 du/[ (3/4) (secu)^2 ]
= (2√3/3) u + C
= (2√3/3)arctan[( 2x+1)/√3] + C
扩展资料：
定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。
连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么F(x)+C就是f(x)的不定积分，即∫f(x)dx=F(x)+C。因而不定积分∫f(x) dx可以表示f(x)的任意一个原函数。
把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。
参考资料来源：百度百科——不定积分
答案是1/2*x/(1+x^2)+1/2arctanx+C
具体步骤如下：
∫（1/（x^2+1）^2）dx的不定积分为1/2*x/(1+x^2)+1/2arctanx+C。
解：令x=tant，则t=arctanx，且x^2+1=(tant)^2+1=(sect)^2
∫（1/（x^2+1）^2）dx
=∫（1/(sect)^4）dtant
=∫（(sect)^2/(sect)^4）dt
=∫（1/(sect)^2）dt
=∫(cost)^2dt
=1/2∫(cos2t+1)dt
=1/2∫cos2tdt+1/2∫1dt
=1/4sin2t+1/2t+C
=1/2sintcost+1/2t+C
由于x=tant，则sinxcosx=x/(1+x^2)
则∫（1/（x^2+1）^2）dx=1/2sintcost+1/2t+C
=1/2*x/(1+x^2)+1/2arctanx+C
扩展资料
不定积分的公式
1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数
2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1
3、∫ 1/x dx = ln|x| + C
4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1
5、∫ e^x dx = e^x + C
6、∫ cosx dx = sinx + C
7、∫ sinx dx = - cosx + C
∫（1/（x^2+1）^2）dx的不定积分为1/2*x/(1+x^2)+1/2arctanx+C。
解：令x=tant，则t=arctanx，且x^2+1=(tant)^2+1=(sect)^2
∫（1/（x^2+1）^2）dx
=∫（1/(sect)^4）dtant
=∫（(sect)^2/(sect)^4）dt
=∫（1/(sect)^2）dt
=∫(cost)^2dt
=1/2∫(cos2t+1)dt
=1/2∫cos2tdt+1/2∫1dt
=1/4sin2t+1/2t+C
=1/2sintcost+1/2t+C
由于x=tant，则sinxcosx=x/(1+x^2)
则∫（1/（x^2+1）^2）dx=1/2sintcost+1/2t+C
=1/2*x/(1+x^2)+1/2arctanx+C
扩展资料：
换元积分法可分为第一类换元法与第二类换元法。
一、第一类换元法（即凑微分法）
通过凑微分，最后依托于某个积分公式。进而求得原不定积分。例如
。
二、注：第二类换元法的变换式必须可逆，并且在相应区间上是单调的。
第二类换元法经常用于消去被积函数中的根式。当被积函数是次数很高的二项式的时候，为了避免繁琐的展开式，有时也可以使用第二类换元法求解。常用的换元手段有两种：
1、 根式代换法，
2、 三角代换法。
在实际应用中，代换法最常见的是链式法则，而往往用此代替前面所说的换元。
=∫[a/(x-2)+b/(x+1)]dx
则a(x+1)+b(x-2)=x
所以a=2/3,b=1/3
所以原式=∫[(2/3)/(x-2)+(1/3)/(x+1)]dx
=(2/3)ln|x-2|+(1/3)ln{x+1|+C
