求定积分∫下限-π 上限π （x^2sinx）/(x^2+1)dx 在线等！

Answer 1

∫(-π
,π
)（x^2sinx）/(x^2+1)dx
=∫(-π
,π
)[（x^2+1)sinx-sinx]/(x^2+1)dx
=∫(-π
,π
)sinxdx-∫(-π
,π)sinx/
(x^2+1)dx
观察易知：积分区间关于原点对称，且sinx/
(x^2+1)是奇函数
sinx是奇函数
所以∫(-π
,π)sinx/
(x^2+1)dx
=0
∫(-π
,π
)sinxdx=0
所以这个定积分的结果是0

Answer 2

分子：x²是偶函数，sinx是奇函数，所以x²sinx是奇函数，正如奇数乘以偶数等于奇数
分母：x²
+
1是偶函数
分式：x²sinx/(x²
+
1)是奇函数，(偶数
·
奇数)/偶数
=
奇数
积分区间关于原点对称，而且被积函数是奇函数
所以根据奇函数定积分性质，这个定积分等于0