设p>0,要使级数∑(ln(n+1)-lnn)∧p收敛,参数p应如何取值

Question

设p>0,要使级数∑(ln(n+1)-lnn)∧p收敛,参数p应如何取值

Answer 1

运用等价无穷小替换求解：
因为ln(n+1)-lnn=ln[(n+1)/n]=ln(1+1/n)。在n趋于∞的过程中，1/n是无穷小量，因此
ln(1+1/n)≈1/n。所以
Σ(ln(n+1)-lnn)∧p=Σ[1/n+o(1/n)]^p，因此决定敛散性的是1/n，根据p-级数的收敛性，可以知道，p>1是原级数收敛的充要条件。