如何求积分sinx/x（在0,+∞）上

Answer 1

考虑广义二重积分

I=∫∫ e^(-xy) ·sinxdxdy

D

其中D = [0,+∞)×[0,+∞)，

今按两种不同的次序进行积分得

I=∫sinxdx ∫e^(-xy)dy

0 +∞ 0 +∞

= ∫sinx·(1/x)dx

0 +∞

另一方面,交换积分顺序有：

I=∫∫ e^(-xy) ·sinxdxdy

D

=∫dy ∫e^(-xy)·sinxdx

0 +∞ 0 +∞

=∫dy/(1+y^2）=arc tan+∞-arc tan0

0 +∞

= π/2

所以：

∫sinx·(1/x)dx=π/2

0 +∞