如何用圆规和一把没刻度的尺子，画出一个正十七边形

Answer 1

有一个定理在这里要用到的:
若长为|a|,|b|的线段可以用几何方法做出来，那么长为|c|的线段也能用几何方法做出的，
其中c是方程x^2+ax+b=0的实根。
上面的定理实际上就是在有线段长度|a|和|b|的时候，做出长为sqrt(a^2-4b)的线段。
要在一个单位圆中做出正十七边形，主要就是做出长度是cos(2pai/17)的线段。
具体的做法：
设a=2[cos(2pai/17)+cos(4pai/17)+cos(8pai/17)+cos(16pai/17)]>0
a1=2[cos(6pai/17)+cos(10pai/17)+cos(12pai/17)+cos(14pai/17)]<0
则有a+a1=-1,a*a1=-4,即a,a1是方程x^2+x-4=0的根，所以长为|a|和|a1|的线段可以做出。
令b=2[cos(2pai/17)+cos(8pai/17)]>0 b1=2[cos(4pai/17)+cos(16pai/17)]<0
c=2[cos(6pai/17)+cos(10pai/17)]>0 c1=2[cos(12pai/17)+cos(14pai/17)]<0
则有b+b1=a b*b1=-1 c+c1=a1 c*c1=-1
同样道理，长度是|b|,|b1|,|c|,|c1|的线段都可以做出来的。
再有2cos(2pai/17)+2cos(8pai/17)=b [2cos(2pai/17)]*[2cos(8pai/17)]=c
这样，2cos(2pai/17)是方程x^2-bx+c=0较大的实根,
显然也可以做出来，并且作图的方法上面已经给出来了。