已知函数f(x)=2sin²(π/4+x)-根号3cos2x,x∈[π/4,π/2]

Question

（1） 求f(x)的最大值最小值
解答：
（1）
f(x)=2sin²(π/4+x)-根号3cos2x
=1-cos(π/2+2x)-√3cos2x
=sin2x-√3cos2x+1
=2sin(2x-π/3)+1
∵ x∈[π/4,π/2]
∴ 2x-π/3∈[π/6,2π/3]
∴ sin(2x-π/3)∈[1/2,1]
∴ 2x-π/3=π/6时，f(x)有最小值2
2x-π/3=π/2时，f(x)有最大值3
为什么 sin(2x-π/3)∈[1/2,1]

Answer 1

因为sinπ/6到sinπ/2是增函数，[
1/2，1]
，sinπ/2到sin2π/3是减函数值域{1，二分之根号三} 所以sin(2x-π/3)∈[1/2,1]

Answer 2

x∈［π/4,π/2］
∴2x∈［π/2,π］
∴2x-π/3∈［π/6,2π/3］
令θ=2x-π/3
当θ=π/2时，sinθ有最大值=1
当θ=π/6时，sinθ有最小值=1/2
∴sin（2x-π/3）∈［1/2,1］