不等式的证明方法都有哪些？

Question

越详细越好，谢谢！
希望能得到多些的方法！

Answer 1

不等式的证明
1.比较法
作差作商后的式子变形,判断正负或与1比较大小
作差比较法-----要证明a>b,只要证明a-b>0.
作商比较法---已知a,b都是正数,要证明a>b,只要证明a/b>1
例1 求证:x2+3>3x
证明:∵(x2+3)-3x=x2-3x+()2-()2+3
=+≥>0
∴ x2+3>3x
例2 已知a,b R+,并且a≠b,求证
a5+b5>a3b2+a2b3
证明:(a5+b5)-(a3b2+a2b3)=(a5-a3b2)-(a2b3-b5)
=a3(a2-b2)-b3(a2-b2)=(a2-b2)(a3-b3)
=(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)
∵ a,b R+
∴ a+b>0, a2+ab+b2>0
又因为a≠b,所以(a-b)2>0
∴ (a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)>0
即 (a5+b5)-(a3b2+a2b3)>0
∴ a5+b5>a3b2+a2b3
例3 已知a,b R+,求证:aabb≥abba
证明: =
∵a,b R+,当a>b时,>1,a-b>0,>1;
当a≤b时,≤1,a-b≤0, ≥1.
∴ ≥1, 即aabb≥abba
综合法
了解算术平均数和几何平均数的概念,能用平均不等式证明其它一些不等式
定理1 如果a,b R,那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取"="号)
证明:a2+b2-2ab=(a-b)2≥0
当且仅当a=b时取等号.所以
a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取等号).
定理2 如果a,b,c R+,那么a3+b3+c3≥3abc(当且仅当a=b=c时取"="号)
证明:∵a3+b3+c3-3abc
=(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc
=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ac)
=(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]≥0
∴ a3+b3+c3≥3abc,
很明显,当且仅当a=b=c时取等号.
例1 已知a,b,c是不全等的正数,求证
a(a2+b2)+b(a2+c2)+c(a2+b2)>6abc.
放缩法
这也是分析法的一种特殊情况,它的根据是不等式的传递性—
a≤b,b≤c,则a≤c,只要证明"大于或等于a的"b≤c就行了.
例,证明当k是大于1的整数时,,
我们可以用放缩法的一支——"逐步放大法",证明如下:

分析法
从要证明的不等式出发,寻找使这个不等式成立的某一"充分的"条件,为此逐步往前追溯(执果索因),一直追溯到已知条件或一些真命题为止.例如要证a2+b2≥2ab我们通过分析知道,使a2+b2≥2ab成立的某一"充分的"条件是a2-2ab+b2≥0,即(a-b)2≥0就行了.由于是真命题,所以a2+b2≥2ab成立.分析法的证明过程表现为一连串的"要证……,只要证……",最后推至已知条件或真命题
例 求证:
证明:
构造图形证明不等式
例:已知a,b,c都是正数,求证:
+>
分析与证明:观察原不等式中含有a2+ab+b2即a2+b2+ab的形式,联想到余弦定理:c2=a2+b2-2ab CosC,为了得到a2+b2+ab的形式,只要C=120°,
这样:可以看成a,b为邻边,夹角为120°的的三角形的第三边
可以看成b,c为邻边,夹角为120°的的三角形的第三边
可以看成a,c为邻边,夹角为120°的的三角形的第三边
构造图形如下,
AB=,
BC=,
AC=
显然AB+BC>AC,故原不等式成立.
数形结合法
数形结合是指通过数与形之间的对应转化来解决问题.数量关系如果借助于图形性质,可以使许多抽象概念和关系直观而形象,有利于解题途径的探求,这通常为以形助数;而有些涉及图形的问题如能转化为数量关系的研究,又可获得简捷而一般化的解法,即所谓的以数解形.数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维和形象思维结合,通过对图形的认识,数形的转化,可以培养思维的灵活性,形象性.通过数形结合,可以使复杂问题简单化,抽象问题具体化.
例.证明,当x>5时,≤x-2
解:令y1=, y2=x-2, 从而原不等式的解集就是使函数y1>y2的x的取值范围.在同一坐标系中分别作出两个函数的图象.设它们交点的横坐标是x0, 则=x0-2>0.解之,得x0=5或x0=1(舍).根据图形,很显然成立.
反证法
先假定要证不等式的反面成立,然后推出与已知条件(或已知真命题)和矛盾的结论,从而断定反证假定错误,因而要证不等式成立.
穷举法
对要证不等式按已知条件分成各种情况,加以证明(防止重复或遗漏某一可能情况).
注意:在证明不等式时,应灵活运用上述方法,并可通过运用多种方法来提高自己的思维能力.

Answer 2

不等式的证明
1.比较法
作差作商后的式子变形,判断正负或与1比较大小
作差比较法-----要证明a>b,只要证明a-b>0.
作商比较法---已知a,b都是正数,要证明a>b,只要证明a/b>1
例1 求证:x2+3>3x
证明:∵(x2+3)-3x=x2-3x+()2-()2+3
=+≥>0
∴ x2+3>3x
例2 已知a,b R+,并且a≠b,求证
a5+b5>a3b2+a2b3
证明:(a5+b5)-(a3b2+a2b3)=(a5-a3b2)-(a2b3-b5)
=a3(a2-b2)-b3(a2-b2)=(a2-b2)(a3-b3)
=(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)
∵ a,b R+
∴ a+b>0, a2+ab+b2>0
又因为a≠b,所以(a-b)2>0
∴ (a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)>0
即 (a5+b5)-(a3b2+a2b3)>0
∴ a5+b5>a3b2+a2b3
例3 已知a,b R+,求证:aabb≥abba
证明: =
∵a,b R+,当a>b时,>1,a-b>0,>1;
当a≤b时,≤1,a-b≤0, ≥1.
∴ ≥1, 即aabb≥abba
综合法
了解算术平均数和几何平均数的概念,能用平均不等式证明其它一些不等式
定理1 如果a,b R,那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取"="号)
证明:a2+b2-2ab=(a-b)2≥0
当且仅当a=b时取等号.所以
a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取等号).
定理2 如果a,b,c R+,那么a3+b3+c3≥3abc(当且仅当a=b=c时取"="号)
证明:∵a3+b3+c3-3abc
=(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc
=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ac)
=(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]≥0
∴ a3+b3+c3≥3abc,
很明显,当且仅当a=b=c时取等号.
例1 已知a,b,c是不全等的正数,求证
a(a2+b2)+b(a2+c2)+c(a2+b2)>6abc.
放缩法
这也是分析法的一种特殊情况,它的根据是不等式的传递性—
a≤b,b≤c,则a≤c,只要证明"大于或等于a的"b≤c就行了.
例,证明当k是大于1的整数时,,
我们可以用放缩法的一支——"逐步放大法",证明如下:

分析法
从要证明的不等式出发,寻找使这个不等式成立的某一"充分的"条件,为此逐步往前追溯(执果索因),一直追溯到已知条件或一些真命题为止.例如要证a2+b2≥2ab我们通过分析知道,使a2+b2≥2ab成立的某一"充分的"条件是a2-2ab+b2≥0,即(a-b)2≥0就行了.由于是真命题,所以a2+b2≥2ab成立.分析法的证明过程表现为一连串的"要证……,只要证……",最后推至已知条件或真命题
例 求证:
证明:
构造图形证明不等式
例:已知a,b,c都是正数,求证:
+>
分析与证明:观察原不等式中含有a2+ab+b2即a2+b2+ab的形式,联想到余弦定理:c2=a2+b2-2ab CosC,为了得到a2+b2+ab的形式,只要C=120°,
这样:可以看成a,b为邻边,夹角为120°的的三角形的第三边
可以看成b,c为邻边,夹角为120°的的三角形的第三边
可以看成a,c为邻边,夹角为120°的的三角形的第三边
构造图形如下,
AB=,
BC=,
AC=
显然AB+BC>AC,故原不等式成立.
数形结合法
数形结合是指通过数与形之间的对应转化来解决问题.数量关系如果借助于图形性质,可以使许多抽象概念和关系直观而形象,有利于解题途径的探求,这通常为以形助数;而有些涉及图形的问题如能转化为数量关系的研究,又可获得简捷而一般化的解法,即所谓的以数解形.数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维和形象思维结合,通过对图形的认识,数形的转化,可以培养思维的灵活性,形象性.通过数形结合,可以使复杂问题简单化,抽象问题具体化.
例.证明,当x>5时,≤x-2
解:令y1=, y2=x-2, 从而原不等式的解集就是使函数y1>y2的x的取值范围.在同一坐标系中分别作出两个函数的图象.设它们交点的横坐标是x0, 则=x0-2>0.解之,得x0=5或x0=1(舍).根据图形,很显然成立.
反证法
先假定要证不等式的反面成立,然后推出与已知条件(或已知真命题)和矛盾的结论,从而断定反证假定错误,因而要证不等式成立.
穷举法
对要证不等式按已知条件分成各种情况,加以证明(防止重复或遗漏某一可能情况).
注意:在证明不等式时,应灵活运用上述方法,并可通过运用多种方法来提高自己的思维能力.

Answer 3

pzjp12345 ，你好：
琴生（Jensen）不等式：（注意前提、等号成立条件） 设f(x)为凸函数，
则f[(x1 x2 …… xn)/n]<=[f(x1) f(x2) …… f(xn)]/n(下凸);
f[(x1 x2 …… xn)/n]>=[f(x1) f(x2) …… f(xn)]/n(上凸), 称为琴生不等式（幂平均）。
加权形式为： f[(a1x1 a2x2 …… anxn)]<=a1f(x1) a2f(x2) …… anf(xn)(下凸);
f[(a1x1 a2x2 …… anxn)]>=a1f(x1) a2f(x2) …… anf(xn)(上凸),其中 ai>=0(i=1,2,……,n),且a1 a2 …… an=1. 要使用jensen 不等式，你就必须先判定一个式子是凸性的，分上凸和下凸两种。
凸函数的概念：【定义】如果函数f(x)满足对定义域上任意两个数x1,x2都有(f(x1) f(x2))/2>=f((x1 x2)/2),那么f(x)为凹函数，或下凸函数。 【定义】如果函数f(x)满足对定义域上任意两个数x1,x2都有(f(x1) f(x2))/2<=f((x1 x2)/2),那么f(x)为凸函数，或上凸函数。 同样，如果不等式中等号只有x1=x2时才成立，我们分别称它们为严格的凹凸函数 琴生不等式说， 对于任意的凹函数f(x)以及其定义域上n个数x1,x2,...,xn,那么都有(f(x1) f(x2) ... f(xn))/n>=f((x1 x2 ... xn)/n) 对于任意的凸函数f(x)以及其定义域上n个数x1,x2,...,xn,那么都有(f(x1) f(x2) ... f(xn))/n<=f((x1 x2 ... xn)/n) 如果上面凹凸是严格的，那么不等式的等号只有x1=x2=...=xn才成立 现在我们看看如何证明琴生不等式，下面只对凹函数加以证明。 首先我们对n是2的幂加以证明，用数学归纳法 假设对于n=2^k琴生不等式成立，那么对于n=2^(k 1) (f(x1) f(x2) ... f(xn))/n =((f(x1) f(x2) ... f(x(n/2)))/(n/2) (f(x(n/2 1)) ... f(xn))/(n/2))/2 >=(f(（(x1 x2 ... x(n/2)）/(n/2)) f((x(n/2 1) ... xn)/(n/2)))/2 >=f(((（(x1 x2 ... x(n/2)）/(n/2) (x(n/2 1) ... xn)/(n/2)))/2) =f((x1 x2 ... xn)/n) 所以对于所有2的幂，琴生不等式成立。 现在对于一个普通的n,如果n不是2的幂，我们可以找到一个k,使得2^k>n 然后我们设 x(n 1)=x(n 2)=...=x(2^k)=(x1 x2 ... xn)/n 代入2^k阶的琴生不等式结论，整理后就可以得到结论。 现在看看如何使用琴生不等式证明平方平均不等 式 (x1^2 x2^2 ... xn^2)/n>=[(x1 x2 ... xn)/n]^2 显然，我们可以查看函数f(x)=x^2 由于 (f(x1) f(x2))/2=(x1^2 x2^2)/2=(2x1^2 2x2^2)/4>=(x1^2 x2^2 2x1x2 (x1-x2)^2)/4>=(x1^2 x2^2 2x1x2)/4=((x1 x2)/2)^2 所以f(x)=x^2是凹函数 所以我们可以得到，对于任意x1,x2,...,xn, 有(f(x1) f(x2) ... f(xn))/n>=f((x1 x2 ... xn)/n) 也就是n阶平方平均不等式。 从上面证明过程我们知道通常情况用初等方法判断函数的凹凸性比较麻烦。