二重积分计算（极坐标形式）

Question

不太会做，求指教

Answer 1

　　极坐标下的二重积分计算法
　　

　　极坐标系下，直线x＝1的方程是ρcosθ＝1，即ρ＝1/cosθ。射线y＝x的方程是θ＝π/4。

　　确定θ的取值范围：积分区域夹在射线θ＝0与θ＝π/4之间，所以θ的取值范围是 0≤θ≤π/4。

　　确定ρ的取值范围：从极点作射线与直线ρ＝1/cosθ相交，所以ρ的取值范围是 0≤ρ≤1/cosθ。

　　所以，二重积分在极坐标系下表示为：∫0～π/4 dθ ∫0～1/cosθ f(ρcosθ，ρsinθ) ρdρ

Answer 2

画出D的图形，
可以看出，
D是由x轴，直线y=√3·x，圆y=√(3-x²)围成的平面区域。

y=√3·x的极坐标方程为：θ=π/3
y=√(3-x²)的极坐标方程为：r=√3

根据直角坐标与极坐标之间的转换公式，
原式=∫(0~π/3)dθ∫(0~√3)rsinθ·rdr
=√3·∫(0~π/3)sinθdθ
=√3·(-cosθ) |(0~π/3)
=√3/2

Answer 3

提示(手机不便书写): 用极坐标:
=∫(0,pai/2 )da∫(0,1)√((1-r^2)/(1加r^2))rdr=(pai/4)∫(0,1)√((1-r^2)/(1加r^2))dr^2.后一个积分要把整个根号设为t,化成t的有理函数求积分

追问

我做的方法和你的一模一样，他答案是π/4 -1/2，，求解啊

追答

√((1-t)/(1+t))=u,1-t=u^2(1+t) t=(1-u^2)/(1+u^2)
dt=[-2u(1+u^2)-2u(1-u^2)]/(1+u^2)^2du=-4u/(1+u^2)^2du
I=π/4)∫(1,0)-4uu/(1+u^2)^2du=π∫(0,1)u^2/(1+u^2)^2du
=π(∫(0,1)1/(1+u^2)du-∫(0,1)1/(1+u^2)^2du)
=π(arctanu-u/2(1+u^2)+(1/2)arctanu)|(0,1)
=(π/8)(π-2)

你那答案肯定错